Uniform Interpolation and Admissible Rules

Abstract

Ik bedank de wiskundemeiden Anita, Daja, Heleen, Jo-anne en Simone. Wat een geweldige studietijd heb ik met jullie beleefd. Ik hoop dat mijn proefschrift weer een vlaag van herkenning en vreugde bij jullie oproept bij het lezen van 'Definition' dit en 'Theorem' dat. Simone, Lotte en Eline, bedankt voor het doorploegen van de Nederlandse samenvatting. Ik bedank al mijn vrienden voor alle gezelligheid.Papa en mama, wat fijn dat jullie altijd achter me staan. Ik moest mezelf vaak herinneren aan mijn moeders wijsheid: 80% is goed genoeg! Papa, bedankt voor al je grapjes over π (deze is de enige die je in dit proefschrift zult vinden). David en Judith, jullie zijn mijn geweldige broer en zus. David, het is leuk dat we beide een achtergrond hebben in de wiskunde en dat je net zo gek bent als ik om Carcassonne te spelen met alle uitbreidingen. Judith, ik bewonder je lef en volg je voetsporen om na mijn PhD verder onderzoek te doen in het buitenland. Wij zijn nog lang niet uitgegiecheld :) Esther en Winfried, wat fijn om jullie als schoonouders te hebben en ik ben blij dat de deur altijd bij jullie open staat. Valijn, je brengt me aan het lachen, je troost me, je begrijpt me, je laat me en je maakt me gelukkig.

Uniform Interpolation via Nested Sequents

“…Due to the proof being technically involved, space considerations prevented us from extending the syntactic proof of ULIP to KD5, K45, KD45, KB5, and S5. For S5, layered sequents coincide with hypersequents, and we plan to upgrade the hypersequent-based syntactic proof of UIP from [11] to ULIP (see also [13]). As for KD5, K45, KD45, and KB5, the idea is to modify the method presented here for K5 by using the layered sequent calculus for the respective logic and making other necessary modifications, e.g., to rule dd, to fit the specific structure of the layers.…”

“…These are often called pre-interpolants as opposed to their dual post-interpolants that, in classical logic, can be defined as ∃pϕ = ∀pϕ and ∃ℓϕ = ∀ℓϕ (see, e.g., [1,5,11,17] for more explanations).…”

“…Let Ξ denote the multiset of these multiformulas ℧ j returned by all these calls. Since Step 2 is the only one used between that call and all the calls comprising (11), it is clear that (6) is their conjunction, i.e.,…”

“…Towards this goal, we build on the modular treatment of multicomponent calculi to prove the CIP for modal and intermediate logics in [8,18,20,22,23]. First steps have been made by reproving the UIP for modal logics K, D, and T via nested sequents [12] and for S5 via hypersequents [11,13], the first time this is proved proof-theoretically for S5.…”

“…Finally, layered sequents are used to provide the first proof-theoretic proof of the ULIP for K5. The method is adapted from [11,13] in which the UIP is proved for S5 based on hypersequents. We provide an algorithm to construct uniform Lyndon interpolants purely by syntactic means using the termination strategy of the proof search.…”