Unabhängige Überlagerungen verschobener zufälliger Punktfolgen

Abstract

I n der vorliegenden Arbeit wird die Konvergenz von unabhangigen Uberlagerungen von im Sinne von [ 11 verschobenen zufalligen Punktfolgen gegen PoIssoNsche Punktprozesse untersucht. I n Verbindung damit gelangt man zu Charakterisierungen verschiebungsinvarianter PoIssoNscher Punktprozesse und zu Konvergenzaussagen fiir Folgen h e a r e r Transformationen zufiilljger MaBe im Sinne eines schwachen Gesetzes der groaen Zahlen. Grundbegriffe und Resultate1.1. Bezeiehnungen Die in dieser Arbeit verwendeten Begriffe und grundlegenden Beziehungen werden wir nicht naher erlautern und verweisen statt dessen auf die zusammenfassende Darstellung in [lo] und [l]. Es seien E ein vollstandiger, separabler, metrischer Raum, 8 die a-Algebra der BoRELinengen aus E und % das System aller beschrankten Mengen aus 23. Unter einer zufalligen Punktfolge (z. Pf.) oder einem PunktprozeB auf E verstehen wir ein Verteilungsgesetz P auf dem meljbaren Raum [ M , m] der Punktfolgen auf E , d. h., M ist die Menge aller ganzzahligen Malje @ auf [E, 8 3 1 , die auf ' 21 endlich sind. Mit A p bezeichnen wir das Intensitatsmalj von P. Sei jetzt K ein substochastischer Kern auf E. Die z. Pf. P heiBt verschiebbar bezuglich K , wenn Pfast sicher gilt: J'@(dx) K ( x , A ) < 00; v A E . Man kann namlich in diesem Fall (vgl. [l]) aus P eine neue z. Pf. PK ableiten, indem man alle Punkte unabhangig voneinander gemaB K verschiebt. Gilt dabei P, = P, so heifit P invariant bezuglich K oder kurz K-invariant. Bezeichnen wir fur ein Malj ,u auf [E, 8 1 mit p * K das durch p * K ( A ) = j-,u(dx) K ( x , A ) ; v A E % charakterisierte Ma8 auf [E, 8 3 1 , dann ist das IntensitatsmaB von P, in der

Überlagerung verdünnter und schwach abhängiger Punktprozesse

“…Wir verwenden weiterhin folgende Ungleichung : Wegen (4), (5) Beweis von S a t z 1. 1) Genugt das Serienschema (qn,JtSismn von Verdunnungsfunktionen der Bedingung in (B), so erfolgt der Beweis von Satz 1 wie der Beweis von Satz 2.…”