“Una imagen de la realidad geométrica”: la concepción axiomática de la geometría de Hilbert a la luz de la Bildtheorie de Heinrich Hertz

Abstract

El artículo presenta una interpretación del abordaje axiomático temprano a la geometría de David Hilbert, i.e., el desarrollado entre 1891 y 1905. Se sostiene que diversos aspectos de este abordaje, a primera vista problemáticos, se pueden comprender mejor si se contrastan con una de sus influencias más importantes en este periodo: la teoría pictórica [Bildtheorie] de Heinrich Hertz. En particular se argumenta que un análisis de la concepción axiomática de Hilbert a la luz de la teoría de Hertz permite aliviar ciertas tensiones en la concepción hilbertiana; más precisamente, las tensiones que surgen de mantener, al mismo tiempo, una posición axiomática abstracta o formal y una concepción empirista de la geometría, que la considera una ciencia natural.

La teoría funcional y la construcción pictórica de los conceptos en Ernst Cassirer

“…que estas imágenes o símbolos deben mantener con los objetos representados se limita al requisito básico recién mencionado: las consecuencias de las imágenes en el pensamiento deben ser, a su vez, imágenes de las consecuencias en la naturaleza. Las Bilder de Hertz no pretenden informarnos nada acerca de la «esencia» de los objetos o fenómenos externos, de cómo son en sí (Giovannini, 2012;38).…”

“…El autor considera necesario distinguir que «en virtud de su origen epistemológico debe diferenciarse entre la matemática pura (aritmética, álgebra, análisis, teoría de números, teoría de funciones, etc.) y la matemática mixta, en donde se encuentran la geometría y la mecánica» (Giovannini, 2012;30). Para Hilbert, según este autor, la construcción de conceptos geométricos no se desarrolla sólo por la experiencia sino que «las proposiciones básicas de la geometría elemental no son muy distintas de las proposiciones de la física en cuanto a que, en un sentido factual, formulan una multitud de "hechos del mundo exterior"» (Giovannini, 2012;32), aunque no se debe entender a la geometría como una mera «descripción del espacio físico, sino sólo como una estructura conceptual o relacional susceptible de recibir diversas interpretaciones» (Giovannini, 2012;33), por lo que diversas interpretaciones geométricas son posibles en tanto que las relaciones predicadas en los axiomas se cumplan.…”