Uma introdução ao cálculo fracionário e suas aplicações em circuitos elétricos

Abstract

A extensão natural do cálculo diferencial, proposta inicialmente em uma troca de correspondências entre l'Hôpital e Leibniz, levou ao conceito de derivada de ordem fracionária. A aplicação da derivada fracionária permite uma melhor descrição da dinâmica de muitos sistemas reais, indo desde biossistemas até mercados financeiros, que apresentam efeitos de memória, dissipação e dimensionalidade fractal. No presente trabalho, os objetivos principais são a apresentação conceitual da derivada fracionária, algumas de suas definições tanto na forma de diferenças finitas de Grünwald-Letnikov quanto nas formas integrais de Riemann-Liouville, para posteriormente aplicá-las a problemas usuais da teoria de circuitos elétricos em circuitos do tipo RC e RL de ordem fracionária. Palavras-chave: derivada fracionária; derivada de Grünwald-Letnikov; integrais de Riemann-Liouville; circuitos elétricos A natural extension of differential calculus, initially proposed by l'Hôpital in a letter to Leibniz, leaded to the concept of fractional order derivatives. The application of fractional derivatives allows one to correctly describe the dynamics of many real systems, from biosystems to financial markets, where memory effects, dissipation and fractal dimensionality are present. This paper aims to present an overview of fractional derivatives and its representations, both in the form of Grünwald-Letnikov finite differences as well as in the form of Riemann-Liouville integrals, and to apply it in describing RC and RL electrical circuits of fractional order. Keywords: fractional derivatives; Grünwald-Letnikov derivatives; Riemann-Liouville integrals; electric circuits. IntroduçãoA maioria dos sistemas dinâmicos reais apresentam complexidade suficiente para produzir efeitos de memória, dissipação e dimensionalidade efetiva de ordem fracioná-ria. Alguns desses problemas levam a funções de natureza fractal, apresentando a propriedade de auto-similaridade, ou seja, os padrões que aparecem em uma determinada escala se repetem em escalas maiores e menores. Essas funções não são diferenciáveis no sentido convencional e muitas das leis que regem os processos difusivos e/ou transições de fase são melhor descritas por leis de potên-cias fracionárias. Todos esses aspectos podem ser melhor compreendidos através do uso do chamado cálculo fracionário e da geometria fractal [1][2][3][4][5].As origens do cálculo fracionário remontam ao ano de 1695, quando o matemático Guillaume François de l'Hôpital enviou uma carta para o matemático Gottfried Leibniz, conhecido por ser o pai da notação moderna do cálculo diferencial, onde discutia o possível significado de uma derivada de ordem n = 1/2. A resposta de Leibniz a l'Hôpital, levou às primeiras definições de derivadas e * Endereço de correspondência: cadartora@eletrica.ufpr.br.integrais de ordens não-inteira [2,4]. Desde então, grandes matemáticos, como Leonhard Euler e Joseph Louis Lagrange [6], dedicaram esforços ao problema do cálculo fracionário. Embora Pierre Simon Laplace tenha definido a derivada fraci...

Um sentido físico para modelagem fracionária:O caso do amortecimento das ondas eletromagnéticas

“…Dentre outras aplicações das derivadas fracionárias, existem as seguintes utilizações: no estudo de materiais com memória, fenômenos de difusão, epidemiologia, vibrações mecânicas e circuitos elétricos. Recentemente, alguns trabalhos que propõem a modelagem fracionária podem ser citados: [9][10][11]. Estes trabalhos mostraram resultados melhores que os da literatura, os quais usam o cálculo diferencial de ordem inteira.…”