Ueber einen Algorithmus zur Berechnung dern ten Wurzel ausa

Abstract

der auf die ate Wurzel yon a fiihr~. Dieses Beispiel diirfte ein gewisses Interesse darbieten. Denn die iterirte Function ist sehr eiufach rational und die Convergenz ist sehr stark. Ausserdem wird die Variable nicht nur auf reale We~he beschriinkL Ftir den Fall der Quadratwurzel (n ~ 2) ist das Ergebnlss tiberraschend einfach. Dann zerf~llt die Ebene der complexen Zahlen in zwei Convergenzbereiche t die durch eine gerade Linie yon einander getrennt sin& Diese gerade Linie enthNt alle diejenigen x, welche gleichweit yon den beiden Punkten, die die Quadratwurzeln aus a darstellen, en~fern~ sind; w isi also die Mittelsenkrechte der Verbindungslinie der beiden Punkto.*) Lieg~ x auf dieser Linie, so convergirt der Algorithmus nieht. In jedem andern Falle convergirt er gegen denjenigen Werth yon ~/a'~ der dem Anfangswerthe x am niichsten liegt. Der Grenzwerth l~isst sich auch als eine unendliche l~eihe yon rafionalen Functionen yon x darstellen, n,imlich in der Form x + (xi-x) + (x~-xl) + .... *) Ich will znich im Folgenden immer der bequemen und anschaulichen aus der geometrischen Darstellung der complexen Zahlen en~springenden Ausdrucksweise bedienen.

Haley's Methods for Solving Equations

“…For some early work, reference may be made to Cauchy's works and to Serret's Algebra. The work of Koenigs [15], Isenkrahe [January, [16], and Schmidt [17] made some points clear, especially for the case of complex roots. The early work of Schroeder [18] and Laguerre [19] has also proved inspiring.…”

“…The converge-ice of the iterative process. The convergence of the sequence obtained by iteration of (8) has been studied by Faber [14] who supposes that F(x) is an analytic function such that for a positive number c less than one the inequality (17) F(z)F"(z)/F'2(z) < c is satisfied for all points z in the complex plane that lie within a circle round a with radius R defined by the equation where h(x) #O. Consequently if k>O we have 4+-k>', and the Newtonian sequence for the solution of F(x) =0 will converge by Faber's theorem. This means that the Halley sequence for the solution of f(x) =0 will converge as soon as k >0 and the initial point a is sufficiently close to the root x.…”