Ueber die algebraischen Formen, deren Hesse'sche Determinante identisch verschwindet

Abstract

Die Bedeutnng des identizchen Verschwindens der Hesse'~chen Determinante einer algeb~aischen Form ist yon Hesse, zun~chst im 42. Bande, dann im ~6. Bande des Crelle'schen Journals, dahin ausgesproehett women: dass die Beziehungen, welche zwisehe~a den partiellen Differentialqaotieaten, den Potaren, der Form herrschen miissen~ Zlnear~" seien, oder, was dasselbe ist, dass aich die homogene Form yon r Va. riabeln dutch lineare Transformation auf eine solehe ~oa wenig~r als r Variabeln zurfiekffihren lasse. s auch der zwei~ Beweis, weleher eia System linearer Gleichungen in unvolls~ndiger Weise auflSs~, is~ seit lange als unzul'~ssig erkannt women*).Trotz der sehr verachiedenartigen Methoden, wetche sieh zur Behandlang des Problems darbieten, hat bisher die Frage nach der Richtigkeit des tt esse'schen Satzes nicht entschieden werdea kSnnen. Nut ffir die den bin~ren und den qaadrafischen Formen, bei welchen der Satz selbstverst~ndlieh richtig ist, n'Xchststehenden he,den F~lle, den der ter~iiren cubischen und der~ der (l~gtterniiren oubisct~en Formen~ is~ dutch H. Pasch auf dem Wege yon Determinantenrelationen ein Beweis des Satu.es erbraeht worden**). Und ferner hat der eine yon *) Wie dem ellen yon un8 (~.) vor 17,ngerer Zeit yon H. Christoffe| mitgetheilt wurde, sind die M~ngel des BeweL~e~ gleich n~ch Er~hemen de~ zweiten Hesse'schen AufsaY~ze8 hemerkt women, ~d wurde yon H, Weierstra~s ein Zweifel an der Richtigke~t des Satze8 ge~iassert. V~n den unten folgenden P~ultaten hat H. Chriatoffel die eindeutige Umkehrbatkeit der Formelu (I0} dea w 2. bei jener Gelegenheit a~gegeben. Die fall:hen Bewei~e ait~l fibrige~ in die meisten Lehrbficher fibergegamgen, so in Brioachi'a Determimmti, in Saimon-Fiedler's Algebra tier line~ren Tra~sforma~ionen, etc. **) 8. Crelle-Borch. 80, 1~. 169. 35*

A problem of approximation using multivariate polynomials

“…The other method of proof, using algebraic geometry, is a consequence of the main results in a paper of Gordan and Noether [4], which 'corrected' an earlier paper of Hesse [5]. Thinking over these results provides us with a better understanding of the case d = 4, although we still do not have a complete characterization of all the polynomials g for which ΊΊ = Π in M 4 . Nor do we know, in general, if it is necessary for the density of 3Ί in C(R d ) that it equal Π.…”

“…By Lemma 3.1 and Proposition 3.3 it suffices to prove Theorem 3.9 for p-homogeneous polynomials. Assume that h is a p-homogeneous polynomial and 'P(h) φ Π. Homogeneous polynomials for which the determinants of their Hessians vanish identically were investigated by Hesse [5] and by Gordan and Noether [4].…”

“…If the first partial derivatives of h are linearly independent, then, after a linear change of variables, h is of the form In [7] we stumbled across an example of a polynomial h* in 1R 4 that is p-homogeneous, and for which 7(h*) φ Π and "P(h*) separates points. That is, where each P, is a homogeneous polynomial of degree m,i = 1,2,3, and / is an (ra+1,1, l)-homogeneous polynomial (implying that h is homogeneous).…”

“…Then Vi = q*( hi, h 2 , /13,/14) φ 0 or q* = 0. Let ρ = gcd(wi,U2,f3,Ui) and let u» = pii 1 [4] shows that then where y -α,χΧι + α-ιχ-ι + 030:3 -X4.…”

Homogeneous quasi-translations in dimension 5

“…The connection between quasi-translations and polynomial Hessians with determinant zero, which comes from Gordan and Nöther (1876), is given at the beginning of Sect. 4.…”