Über ein mit der Bar‐Induktion Verwandtes Schema

Abstract

Einleitung B R~U W E R S Bar-Theorem ist in Gestalt des Prinzips der Bar-Induktion grundlegend fur die formale Behandlung der intuitionistischen Analysis in KLEENE-VESLEY [6]. Dagegen wird in der Monographie von KREISEL-TROELSTRA [S] eine induktiv definierte Menge K von BRouwER-Operationen an den Anfang gestellt und die Bar-Induktion (vom Typ 0) daraus (und einem Stetigkeitsprinzip) abgeleitet. In Analogie daeu definieren wir induktiv zu jedem Typ c eine Menge von C-Objekten vom TypInduktion uber C, wobei wir im Funktionalkontext die Menge C durch ein Funktional C, das C aufzahlt, ersetzen. Um triviale Bedeutungen von C auszuschliefien, fiigen wir das Axiom CC bei mit der Aussage: Y(c( Yc) 5 Yc fur Y E C, c vom Typ 0 -+ cr. Wir erhalten, daB in der HEYTma-Arithmetik endlicher Typen mit Extensionalitat (E-HA,), vollem Auswahlaxiom ( A C ) und CI, CC die monotone Bar-Induktion herleitbar ist, so daB E-HA, + AC + CI + CC nach einer Bemerkung von SCARPELLINI [9] rnindestens so stark ist wie die klassische Analysis. Der transfiniten Rekursion iiber C entspricht die Bar-Rekursion. Nach dem Vorbild von HOWARD [4]und DILLER-VOGEL [3] funktionalinterpretieren wir in 9 3 die C-Induktion mit der C-Rekursion. Der offenbaren Ahnlichkeit mit der Theorie T, von ZUCKER in [l2] gehen wir in $ 4 nach. Es zeigt sich, daB T, in ein Funktionalsystem iiber dem Grundtyp der natiirliclien Zahlen eingebettet werden kann, wenn nur gemal3 der Definition der endlichen Baumklassen auch C erblich definiert wird (als C').Mein Dank gilt den Herren J. DTLLER und H. LUCKHARDT fur wertvolle Gespriiche uber den Gegenstand dieser Arbeit.