Über die Stabilität positiver Eigenwerte finiter Abbildungen

Abstract

EiiilejtungDie Terminologie der vorliegenden Arbeit richtet sich nach den in [ 2 2 ] benutzten Bezeichnungen und Begriffen ; speziell sind die topologischen Begriffe nach BOURBAKI orientiert. 1st A eine Teilmenge eines topologischen Raumes, so sol1 mit i'A der Rand voii A , mit int A das Innere von A und mit A die AbschlieDung von A bezeichnet werden. &lit W bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen und rnit o bezeichnen wir durchweg das Nullelement eines Vektorraumes. Eine nichtleere konvexe Teilmenge K + {o} eines Vektorranmes nennen wir einen Kegel, wenn K mit x =/= o das Element fx (t 2 O ) , aber nicht das Element (-x) enthdt. Es sei 3 ' ein Vektorraum uiid X eine beliebige Menge. Eine Abbildung f : X + F heiDe nullstellenfrei, wenn o e f ( X ) gilt. Wir sagen ferner, daS die Abbildung f eine Richtung auslaBt, wenn es ein y =/= o aus F gibt, fur welches die Bildmenge f (X) die Halbgerade {x E F : x = t y , t 2 0} nicht schneidet. Als Eigenwert einer (linearen oder nichtlinearen) Abbildung T: G --f F einer Teilmenge G des Vektorraumes F in F bezeichnen wir jede reelle Zahl A, zu welcher ein vom Nullvektor verschiedener Vektor x E G (ein zugehoriger Eigenvektor) existiert mit Tx = A x. Wir sagen ferner, daIJ die Eigenwertaufgabe Tx = 3, x (2 > 0; x E a) genau eine Losung besitzt, wenn ein A. > O und ein x,, E existieren, so daS Tx, = lo xo gilt und aus der Beziehung Tx = I x (A > 0 ; x E G) die Gleichheiten A = lo und .z = xo folgen. Ein topologischer Vektorraum sol1 stets als reel1 und separiert angenommen werdeii ; bezuglich der Theorie der topologischen Vekt'orraume verweisen wir auf N. BOURBAKI [7] und G. NOTHE [15]. Eine kompakte Abbildung (d. h., eine stetige Abbildung rnit relativ lioinpakter Bildmenge) g: Y --f E des topologischen Raumes Y in den I) Sektion Mathematik an der TU Dresden Riedrich, Stabilitiit positiver Eigmwerte finiter Abbildungen t'opologischen Vektorraum E heifle finit, wenn g ( Y ) in einem endlichdimensionalen linearen Teilraum von E liegt. Die Arbeit [ 2 2 ] befafit sich mit der Existenz positiver Eigenwerte finiter Ahbildungeri. Die vorliegende Arbeit untersucht die Frage der St-abilitiit von Eigcnwerten (und Eigenvektoren), deren Existenz durch die Ergebnisse der genannten Arbeit [ 2 2 ] gesichert ist, unter der zusiitzlichen Voraussetzung, daB diesc Eigenwerte und Eigenvektoren isoliert sind. Der Einfachheit der Darstellung halber wird dabei angenommen, dalJ die betrachtet,eii Eigenwertaufgaben (fur deren Losungen die Stabilitat, gezeigt werdeii soll) genau eine Losung bcsitzen. Wir gebeii hinreichendc Bedingungen dafiir an, daI3 alle der urspriinglichen Aufgabc in einem naher zix prazisiercnden Sinlz hinreichend benachbarten Eigenwertaufgaben Losungen besitzen, die von der Losung der ursprunglich gegebenen Eigenwert>aufgabe um nicht mehr als einen vorgeschriebenen Wert abweicheii. Zum Beispiel ergibt sich die folgende Stabilitatsaussage (Satz 4).Satz. E s sei R eine konzpakte X u l l u m g e b u n g des n-dirmensionalen euklidischen R a u m e s R" (versehen mit dw iiblich,en...