Über die Invarianten von Linienelementen und die projektive Geometrie der Kurvengewebe

Abstract

1. Allgemeines. Die Beriihrungsinvarianten yon Smith und Nehmke. In diesem Vortrage mbehte ieh mieh mit den einfaehsten projektiven Differentialinvarianten besehiiftigen~ die zu Kurvenelementen versehiedener Ordnung in der Ebene oder im Raum gehSren.Die Grundaufgabe liilgt sieh folgendermagen formulieren: Oegeben sind eine oder mehrere Kurven und auf jeder ein Punkt; zu bestimmen sind diejenigen geometrisehen und numerisehen Elemente, die mit den Umgebungen yon gewissen gegebenen Ordnungen der obigen Punkte projektiv verkntipft werden kiSnnen. Diese geometrisehen und numerisehen Elemente h~ngen also yon den Kurvenseharen ab, die die gegebenen Kurven in den gegebenen Pankten yon den gegebenen Ordnungen beriihren.Ein erster Beitrag zu diesem Thema findet sieh in einer Arbeit yon It. J. S. Smith (1869) und sp~,tter, unabhitngig davon, in Untersuehungen yon R. Mehmke (1891) und E. W51ffing (1893). Es handelt sieh dabei um die Entdeekung, dal~ das Verhiiltnis der Kriimmungen zweier ebenen Kurven in einem Bertihrungspunkt nieht nut eine metrisehe~ sondern sogar eine projektive Invariante der beiden Kurven ist. Naeh Mehmke gilt entspreehendes aueh ttir das gerh~iltnis der Gaugsehen Kriimmungen zweier Fl~iehenl).Noeh etwas frtiher finden sieh bei E. Beltrami (1865)zwei bemerkenswerte Beispiele soleher Invarianten~ allerdings im Rahmen 1) Vgl. 2, 5, 6, 7 und aueh (vgl. 9, 29)