Über die Hauptkerne von Integralgleichungen.

Abstract

Neumann in Marburg.Bei K(s, £), dem Kerne der zu behandelnden Integralgleichungen, wollen wir im allgemeinen an eine in ihren Argumenten unsymmetrische Funktion denken, die wir aber, um sonst möglichst einfache Verhältnisse zu schaffen, als stetig voraussetzen, s und t seien dabei stets auf ein Intervall ... b beschränkt.Dann gehören zu diesem Kerne die beiden assoziierten linearen IntegralgleichungenDiese beiden Gleichungen, die wir die Gleichungen in s und in t nennen, werden wir stets nebeneinander betrachten und in einer wohl ohne weiteres verständlichen Symbolik 1 ) hinfort kürzer so schreiben: <p(s) -{ , } = f(s) bzw. ( ) -{ , } = f(t) .Die Lösungen ($) und y(t) dieser Gleichungen sind bei willkürlich, nur stetig gegebenen Funktionen f(s) bzw. f(t) im allgemeinen eindeutig und lassen sich mittels der Resolventen K(s, £; ) (Huberts "lösender Funktion") folgendermaßen darstellen:Dabei ist die Resolvente K (s, t] ) eine analytische Funktion des Parameters A, deren Potenzreihenentwicklung in der Umgebung des Nullpunktes lautet:K(*, t; ) = K(s, t) + K 2 (s, t) + * K 3 (s, t) + · --, wo K 2 , K B usw. die Iterationen des Kernes K bedeuten:Kt(*,t)={K,K}, Ks(s,t)={K,K 2 }={K»K}, JT 4 (*,i) ={*,*»} = ···. Dieses Auflösungsverfahren der Gleichungen ($) und (g) versagt aber bei den "Eigenwerten" von A, wie ich (im Gegensatz zu Erhard Schmidt) die Werte des Parameters nennen will, bei denen die zugehörigen homogenen Gleichungen (nicht identisch verschwindende) Lösungen besitzen, die dann "Eigenfunktionen" in s bzw r . in t heißen mögen. -Damit für solche Eigenwerte die inhomogenen Gleichungen überhaupt Lösungen besitzen, müssen die Funktionen f(s) bzw. f(t) orthogonal zu sämtlichen (zu x ) Durch die Anordnung der Funktionen innerhalb der geschweiften Klammer wird sogleich angedeutet, nach welcher Variablen bei Bildung dieses "inneren Produktes" zu integrieren ist. -Was sonst die Schreibweise anlangt, so sollen im folgenden Funktionen einer Veränderlichen immer durch kleine, solche von zwei Veränderlichen durch große Buchstaben gekennzeichnet werden. Danach stellt das Klammersymbol selbst, je nachdem zwei kleine, ein großer und ein kleiner, oder aber zwei große Buchstaben darin stehen, eine Konstante, eine Funktion von einer oder aber von zwei Variablen vor -im letzteren Falle von den beiden zu äußerst stehenden Argumenten.

Bell Could Become the Copernicus of Probability

“…The first who paid attention to peculiarity of the probabilistic structure of QM comparing with the probabilistic structure of classical statistical mechanics was John von Neumann [61]. In particular, he generalized Born's rule to quantum observables represented by Hermitian operators; for observable represented by an operator with purely discrete spectrum, the probability to obtain the value λ as the result of measurement is given as…”

“…In his seminal book [61] von Neumann pointed out that, opposite to classical statistical mechanics where randomness of results of measurements is a consequence of variability of physical parameters such as, e.g., the position and momentum of a classical particle, in QM the assumption about the existence of such parameters (for a moment may be still hidden and unapproachable by existing measurement devices) leads to contradiction. This statement presented in [61] is known as von Neumann no-go theorem, theorem about impossibility to go beyond the description of quantum phenomena based on quantum states: it is impossible to construct a theoretical model providing a finer description of those phenomena than given by QM. 5 Thus von Neumann was sure that it is impossible to construct a classical probability measure on the space of some hidden variables which would reproduce probabilities obtained in quantum measurements.…”

“…Hence, there is nothing surprising that some natural phenomena can be described by novel (non-Boolean) models of logic. Such formal logic was created by von Neumann [61], see also von Neumann and Birkhoff [62]. From this viewpoint, Bell's "no-go theorem" supports (indirectly via coupling of probability with logic) the interpretation of quantum theory as a departure from classical to special nonclassical (quantum) logic.…”

Limitations to sharing entanglement

“…Many classical entropy functions are available [32][33][34][35][36], which leads to a multitude of general quantum entropies S(ρ) = tr[ρf (ρ)] with function f quite general. The choice of entropy function for entanglement evaluation has an impact on the resultant evaluation of entanglement of the state and therefore must be chosen judiciously.…”

“…is the von Neumann entropy of ρ [33]. As the convexroof extension is typically hard to evaluate because minimizing over all all possible pure-state decompositions is daunting, linear entropy is preferred for qubits.…”