Type II Hermite–Padé approximation to the exponential function

Abstract

Dedicated to Nico Temme on the occasion of his 65th birthday.Abstract. We obtain strong and uniform asymptotics in every domain of the complex plane for the scaled polynomials a(3nz), b(3nz), and c(3nz) where a, b, and c are the type II Hermite-Padé approximants to the exponential function of respective degrees 2n + 2, 2n and 2n, defined by a(z)e −z − b(z) = O(z 3n+2 ) and a(z)e z − c(z) = O(z 3n+2 ) as z → 0. Our analysis relies on a characterization of these polynomials in terms of a 3 × 3 matrix Riemann-Hilbert problem which, as a consequence of the famous Mahler relations, corresponds by a simple transformation to a similar Riemann-Hilbert problem for type I Hermite-Padé approximants. Due to this relation, the study that was performed in previous work, based on the Deift-Zhou steepest descent method for Riemann-Hilbert problems, can be reused to establish our present results.as an approximation to e z . Type II Hermite-Padé approximation is simultaneous rational approximation to e −z and e z and consists of finding polynomials a

On sequences of rational interpolants of the exponential function with unbounded interpolation points

“…The behavior of Padé approximants to the exponential function has been studied, among others, in [14,15,16,19,9], and for extensions to Hermite-Padé approximants, one may consult [17,18,12,11]. Generalizations to rational interpolants are investigated in [3,4,2,20,21].…”

Hermite-Padé approximation of exponential functions

“…Для сравнения переформулируем с учетом принятых обозначений аналогичный результат об асимптотике аппроксимаций Эрмита-Паде 2-го рода, полученный в [24] (см. также работы [27] и [40], в которых с помощью метода матричной задачи Римана-Гильберта найдены очень точные асимптотики преобразованных путем масштабирования независимой переменной квадратичных диагональных аппроксимаций и многочленов Эрмита-Паде 1-го и 2-го рода в случае, когда λ 1 = −1, λ 2 = 1).…”

“…Г. Шталь в [18] исследовал расположение нулей преобразованных с помощью масштабирования независимой переменной диагональных многочленов Эрмита-Паде 1-го и 2-го рода для системы экспонент {1, e z , e 2z } и показал, что указанные нули лежат на специальных дугах комплексной плоскости (см. также работы [27] и [40]). Ф. Вилонский в [33]…”

“…В работах [24]- [26] описаны асимптотики поведения разностей e λj z − π j n,n (z; e λj ξ ) в том случае, когда λ j -произвольные различные и отличные от нуля действительные либо чисто мнимые числа (см. также работу [27]).…”

Asymptotics of Hermite-Pade Rational Approximants for Two Analytic Functions with Separated Pairs of Branch Points (Case of Genus 0)

“…Instead of the jump (4.50) in (4.49) we have the jump on ∆* (±) O b * , W 1 , on ∆ * 1 ∩ O b * , D * on δ * 1 ∩ O b * , , Σ b * := O b * ∩ (∆ * (±)1 function solution given in (4.51) for the problem (4.49), (4.52) should be modified slightly: the non-trivial 2 ×2 block now is in the left-upper corner (instead of the right-lower corner in the case IV) and instead of (Φ 1 , Φ 2 , w 1 /w 2 ) we now have (Φ 0 , Φ 1 , w 1 ); compare (4.50) and (4.52). For the solution of an identical local 3 × 3 Riemann-Hilbert problem, see[50,48,49,7,51,52].…”