Two-dimensional homogeneous cubic systems: Classification and normal forms. I

Abstract

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9 Настоящая работа является первой в цикле работ, посвященном классификации двумер-ных однородных кубических систем, основанной на разбиении систем на классы линейной эк-вивалентности. Разрабатываются принципы, позволяющие конструктивно выделять в каждом классе структуру самой простой системы и каноническое множество, определяющее допусти-мые значения, которые могут принимать ее коэффициенты. Векторный многочлен в правой части такой системы, отождествляемый с (2×4)-матрицей, будем называть канонической фор-мой (КФ), а саму систему -кубической нормальной формой.Одна из основных задач цикла заключается в том, чтобы максимально облегчить сведение системы с однородным кубическим многочленом в невозмущенной части к различным структу-рам обобщенной нормальной формы (ОНФ). Под ОНФ подразумевается система, возмущенная часть которой имеет в том или ином смысле самый простой вид. Конструктивная реализация процесса нормализации зависит от возможности в явном виде указать условия совместности и всевозможные решения так называемой связующей системы, под которой понимается счетное множество линейных алгебраических систем уравнений, определяющих нормализующие преоб-разования возмущенной системы. Упомянутые принципы основываются на идее максимально возможного упрощения связующей системы. Это позволяет сначала линейной обратимой за-меной переменных сводить исходную систему к системе с какой-либо КФ в невозмущенной части, а затем полученную систему, оптимальную для нормализации, почти тождественными заменами сводить к различным структурам ОНФ.В данной работе: 1) ставится общая задача, а также формулируются близкие по поста-новке задачи с описанием имеющихся результатов; 2) выводится связующая система, позволя-ющая установить эквивалентность двух любых возмущенных систем с одинаковой однородной кубической частью, и обсуждаются возможности ее упрощения, а также определяется ОНФ и приводится метод резонансных уравнений, позволяющий конструктивно получать все ее струк-туры; 3) вводятся специальные формы записи однородных кубических систем при наличии в их правых частях однородного общего множителя, имеющего степень от единицы до трех; исследу-ется линейная эквивалентность таких систем, а также систем, не имеющих общего множителя; выделяются основные линейные инварианты. Библиогр. 20 назв.Ключевые слова: однородная кубическая система, нормальная форма, каноническая форма.c Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

Two-dimensional homogeneous cubic systems: classification and normal forms — II

“…замечание 2.1 из [1]), 2-й нормируемый элемент после нормировки должен иметь определенный знак при любых значениях элементов A из s …”

“…Данная работа является непосредственным продолжением работы [1], поэтому в ней сохраняются все введенные ранее обозначения. В связи с большим количеством ссылок на формулы, полученные в [1], будем для краткости отмечать их номера сверху символом «1». Например, систему (2.1) из [1] будем обозначать (2.1)…”

“…В связи с большим количеством ссылок на формулы, полученные в [1], будем для краткости отмечать их номера сверху символом «1». Например, систему (2.1) из [1] будем обозначать (2.1)…”

“…СП2 и СП3, основываясь на рассуждениях раздела 1.4 из [1], оптимизируют рас-положение имеющихся в распоряжении ненулевых коэффициентов.…”

“…Оставшиеся пять несимметрич-ных SF -это SF Из определения 1.5 и теоремы 2.3 из [1] вытекает следующее утверждение.…”