Toric Aspects of the First Eigenvalue

Abstract

Abstract. In this paper we study the smallest non-zero eigenvalue λ 1 of the Laplacian on toric Kähler manifolds. We find an explicit upper bound for λ 1 in terms of moment polytope data. We show that this bound can only be attained for CP n endowed with the Fubini-Study metric and therefore CP n endowed with the Fubini-Study metric is spectrally determined among all toric Kähler metrics. We also study the equivariant counterpart of λ 1 which we denote by λ T 1 . It is the the smallest non-zero eigenvalue of the Laplacian restricted to torus-invariant functions. We prove that λ T 1 is not bounded among toric Kähler metrics thus generalizing a result of Abreu-Freitas on S 2 . In particular, λ T 1 and λ 1 do not coincide in general.

Stability of measures on Kähler manifolds

“…In [8] we recast the method of Hersch-Bouguignon-Li-Yau in terms of momentum mapping and applied it when M is an arbitrary compact Hermitian symmetric space,ĝ is the symmetric metric, G = Aut(M ) and the functionsf j are the components of the momentum mapping µ : M → k * for K := Isom(M,ĝ). (Related papers include [2], [7], [34] and [40]).…”

Décomposition solitonique des variétés toriques

“…Pour le compléter, nous avons alors le résultat nouveau suivant qui nous donnent des fonctions propres associées à cette première valeur propre. Il généralise aussi la proposition 2.4 de [LSD18] qui traite le cas des métriques de Kähler-Einstein sur les variétés toriques.…”

“…Démonstration. La preuve suit la démarche de la proposition 2.4 de [LSD18] en rajoutant les termes nécessaires dans le cas solitonique.…”

“…∈ R 2 : x, b i + 1 ≥ 0 où R 2 est muni de sa base canonique (e 1 , e 2 ) et de son produit scalaire usuel permettant de l'identifier avec son dual, et b 1 := e 1 , b 2 := e 2 , b 3 := −e 1 − e 2 .De plus, on sait que la métrique de Fubini-Study de CP 2 est une métrique de Kähler-Einstein dont le potentiel symplectique est le potentiel de Guillemin φ 0 donné par r ln l r , où on a posé l r := x, b r + 1. On pourra consulter[LSD18] ou[Abr03]. Nous obtenons alors que On veut maintenant déterminer la décomposition solitonique.…”

“…Ainsi le couple formé du trapèze de Calabi et ses vecteurs normaux (appelé trapèze de Calabi étiqueté dans l'article [LSD18]) est entièrement déterminé par 8 paramètres :…”