Tomographie Des Variétés Singulières Et Théorèmes De Lefschetz

Abstract

Nous étudions l'homotopie d'une variété quasi‐projective dans un espace projectif complexe selon la méthode de Lefschetz, c'est‐à‐dire en considérant ses sections par les hyperplans d'un pinceau (tomographie). En particulier, nous aboutissons à un théorème du type de Lefschetz qui généralise dans une certaine direction les meilleurs résultats connus dus à Hamm, Lê, Goresky et MacPherson. Ce théorème est démontré par récurrence sur la dimension de l'espace projectif ambiant à partir d'un théorème sur les pinceaux d'axe générique qui constitue le résultat principal de l'article. Ce dernier compare la topologie de la variété à celle de sa section par un hyperplan générique du pinceau sur la base des comparaisons (section hyperplane générique – section par l'axe du pinceau) et (sections hyperplanes exceptionnelles – section par l'axe); l'incidence des singularités est mesurée par un invariant appelé ‘profondeur homotopique rectifiée globale’ (analogue global de la notion de profondeur homotopique rectifiée de Grothendieck). We study the homotopy of a quasi‐projective variety in a complex projective space following Lefschetz's method, that is, by considering its sections by the hyperplanes of a pencil (tomography). Specifically, we obtain a theorem of Lefschetz type which generalizes in a certain direction the best‐known results due to Hamm, Lê, Goresky and MacPherson. This theorem is proved by induction on the dimension of the ambient projective space with the help of a theorem on pencils with generic axis which is the main result of the paper. The latter compares the topology of the variety with that of its section by a generic hyperplane of the pencil, on the basis of the following comparisons: section by a generic hyperplane with section by the axis of the pencil; and sections by the exceptional hyperplanes with section by the axis. The effect of the singularities is measured by an invariant called ‘global rectified homotopical depth’ (a global analogue of the notion of rectified homotopical depth of Grothendieck). eyral@cmi.univ‐mrs.fr 2000 Mathematics Subject Classification: 32S50, 14F35, 14F17.

Polynomials and Vanishing Cycles

“…Our Theorem 1.1(a) improves [Ti2] by weakening the hypotheses. As we have explained in loc.cit., our result [Ti2] recovered in its turn other previous connectivity results [La,Ch1,Ch2,Ey].…”

“…The part (a) of this Corollary is well-known, see e.g. [Ch1,Ey], and its proof goes by induction on dim V , since by repeatedly slicing we arrive to the case dim V = 0. The conditions of Theorem 1.1 are satisfied at each induction step, as follows.…”

Profondeur homotopique et conjecture de Grothendieck

“…Le théorème 2.4 permet de relier la profondeur homotopique rectifiée (ordinaire ou locale) de Grothendieck-Hamm-Lê( [5], [7]) à la profondeur homotopique rectifiée globale [2] des espaces analytiques complexes.…”

“…Dans [6], ils avaient déjà utilisé cette version de la notion de profondeur homotopique rectifiée pour démontrer un théorème du type de Lefschetz pour les variétés quasi projectives singulières {voir [6], theorem 2.1.4). Dans [2], nous introduisons la profondeur homotopique rectifiée globale (analogue global de la notion de profondeur homotopique rectifiée de Grothendieck) pour démontrer un théorème du type de Lefschetz, également pour les variétés quasi projectives singulières (voir [2], théorème 2.5), qui généralise dans une certaine direction celui de [6]. Pour comparer le théorème de Lefschetz singulier de [2] à celui de [6], nous avions déjà, dans [2], établi un premier lien entre la profondeur homotopique rectifiée et la profondeur homotopique rectifiée globale le long des ensembles finis (voir [2], proposition 1.6).…”

“…Au § 2, nous donnons la définition de la profondeur homotopique de Grothendieck et l'énoncé de notre théorème principal (théorème 2.4). Au § 3, nous rappelons la définition de la profondeur homotopique rectifiée de [5], la définition de la profondeur homotopique rectifiée globale de [2] et nous montrons comment le théorème 2.4 permet de relier les deux notions (voir théorème 3.11). Dans la suite de l'article ( § § 4 et 5) nous proposons deux démonstrations différentes du théorème 2.4.…”