Théorème de Hilbert-Samuel «arithmétique»

Convergence des polygones de Harder-Narasimhan

“…du premier order de la fonction P E , où t i = rg E i / rg E. C'est une fonction d'escalier définie sur [0,1]. Le grapheà droite répresente la fonction inverse de la fonction dans le grapheà gauche.…”

“…Le grapheà droite répresente la fonction inverse de la fonction dans le grapheà gauche. C'est une fonction décroissante d'escalier définie sur R qui prend valeurs dans [0,1]. Elle définit donc une mesure de probabilité borélienne ν E sur R. Si on place convenablement les E i , comme présenté dans le grapheà droite, on obtient une R-filtration décroissante de E qui induit par changement de scalaireà K une R-filtration décroissante F E de E K .…”

“…L'integrale de son inverse définit une fonction concave et linéaire par morceaux -c'est-à-dire un polygone -sur [0,1]. En résume, on a des applications natuelles espaces vectoriels de rang fini R-filtrés −→ mesures de probabilité borélienne sur R combinaisons linéaires de mesures de Dirac ←→ polygones sur [0, 1] , dont la dernière est une bijection, qui envoie ν E en P E .…”

Équidistribution des sous-variétés de petite hauteur

“…Elle se place donc dans le cadre de la théorie d'Arakelov (cf [5]), et utilise le théorème de "Hilbert-Samuel arithmétique" dû à Gillet et Soulé [9] (cf aussi Abbes et Bouche [2]). …”

On the normalized arithmetic Hilbert function

“…Moreover, the leading term is given by the arithmetic degree of the hermitian line bundle. Later Abbès and Bouche gave a new proof for this result without using the arithmetic Riemann-Roch theorem, see [1]. Randriambololona extends the result Gillet and Soulé to the case of coherent sheaf provided as a subquotient of a metrized vector bundle on an arithmetic variety, see [7].…”