The subalgebra of graded central polynomials of an associative algebra

Abstract

Let $F$ be a field and let $F \langle X \rangle$ be the free unital associative $F$-algebra on the free generating set $X = \{ x_1, x_2, \dots \}$. A subalgebra (a vector subspace) $V$ in $F \langle X \rangle$ is called a $T$-subalgebra (a $T$-subspace) if $\phi (V) \subseteq V$ for all endomorphisms $\phi$ of $F \langle X \rangle$. For an algebra $G$, its central polynomials form a $T$-subalgebra $C(G)$ in $F \langle X \rangle$. Over a field of characteristic $p > 2$ there are algebras $G$ whose algebras of all central polynomials $C (G)$ are not finitely generated as $T$-subspaces in $F \langle X \rangle$. However, no example of an algebra $G$ such that $C(G)$ is not finitely generated as a $T$-subalgebra is known yet. In the present paper we construct the first example of a $2$-graded unital associative algebra $B$ over a field of characteristic $p>2$ whose algebra $C_2 (B)$ of all $2$-graded central polynomials is not finitely generated as a $T_2$-subalgebra in the free $2$-graded unital associative $F$-algebra $F \langle Y,Z \rangle$. Here $Y = \{ y_1, y_2, \dots \}$ and $Z = \{ z_1, z_2, \dots \}$ are sets of even and odd free generators of $F \langle Y,Z \rangle$, respectively. We hope that our example will help to construct an algebra $G$ whose algebra $C(G)$ of (ordinary) central polynomials is not finitely generated as a $T$-subalgebra in $F \langle X \rangle$.Comment: 8 page

Os polinômios centrais de algumas álgebras associativas Lie nilpotentes

“…são multilineares e determinados por seus multi-graus. Como T (3) é multi-homogêneo (Proposição 1.10), basta mostrar que todo polinômio da forma (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19) não pertence a T (3)…”

“…A seguinte descrição mais precisa de C(E) foi obtida por Deryabina e Krasilnikov [10] à partir de [7].…”

“…Na verdade as demonstrações do Teorema 0.1 apresentada em [7] e do Teorema 1.23 apresentada em [10] funcionam para a álgebra Q 3 = F X /T (3) onde F é um corpo qualquer de característica p ≥ 2. Assim podemos reescrever esses dois teoremas nas formas seguintes: Teorema 1.24 (veja [7,10]). Seja F um corpo qualquer de característica p ≥ 2.…”

“…Seja g + T (3) = ∑ t α t a t + T (3) onde α t ∈ F e os a t + T (3) são elementos distintos da forma (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17). Observe que os polinômios a t não dependem de x 0 e x 1 (porque g = g(x 2 , .…”

“…, que está entre aqueles de (2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14). Pela Proposição 1.16, podemos assumir também que f é multi-homogêneo de grau m i em cada variável x i (i = 1, .…”