The structure theory of set addition revisited

Abstract

Abstract. In this article we survey some of the recent developments in the structure theory of set addition.

Structure theorems in additive combinatorics

“…Мы четко сформулируем данную проблему чуть ниже, а пока отметим, что совсем недавно в этой задаче наметился существенный прогресс, который связан, прежде всего, с результатами Шоена [36], Сандерса [37] и Конягина (см. [27]…”

“…Таким образом, если мы хотим обобщить теорему 1 на бóльшие константы удвоения, то ясно, что для описания соответствующих множеств A нам потребуется использовать не менее двух смежных классов подгруппы Γ. В следующей теореме рассматривается эта более сложная ситуация [27], [38].…”

On the structure of subsets of an orderable group with some small doubling properties

“…Freiman very precisely in the additive group of the integers (see [4], [5], [6], [7]) and by many other authors in general abelian groups, starting with M. Kneser [16] (see, for example, [15], [17], [1], [23], [14]). More recently, small doubling problems in non-necessarily abelian groups have been also studied, see [13], [24] and [3] for recent surveys on these problems and [19] and [26] for two important books on the subject. It is easy to prove that if S is a finite subset of Z, then 2|S| − 1 ≤ |2S| ≤ |S|(|S| + 1) 2 .…”

Inverse Theorems for Sets and Measures of Polynomial Growth

“…See for instance [23,Theorem 2.7] for a quantitative version of this theorem with quite good values for the constants n 0 pdq, C d , C 1 d . Again, the corresponding direct theorem is easy to establish: if H`P has rank at most r and A Ă H`P with |A| ě ε|H`P |, then |nA| ď C r,ε n r |A| for some C r,ε depending only on r, ε.…”