The spectrum of some Hardy kernel matrices

Abstract

For α > 0 we consider the operator Kα : ℓ 2 → ℓ 2 corresponding to the matrix (nm.By interpreting Kα as the inverse of an unbounded Jacobi matrix, we show that the absolutely continuous spectrum coincides with [0, 2/α] (multiplicity one), and that there is no singular continuous spectrum. There is a finite number of eigenvalues above the continuous spectrum. We apply our results to demonstrate that the reproducing kernel thesis does not hold for composition operators on the Hardy space of Dirichlet series H 2 .Résumé. -Pour α > 0 on considère l'opérateur Kα :.En interprétant Kα comme l'inverse d'une matrice de Jacobi non bornée, on montre que le spectre absolument continu coïncide avec [0, 2/α] (multiplicité un), et qu'il n'y a pas de spectre continu singulier. Il existe un nombre fini de valeurs propres au-dessus du spectre continu. Nous appliquons nos résultats pour démontrer que la thèse du noyau reproduisant est en défaut pour les opérateurs de composition sur l'espace de Hardy H 2 des séries de Dirichlet.