The space of finite-energy metrics over a degeneration of complex manifolds

Abstract

Given a degeneration of projective complex manifolds X → D * with meromorphic singularities, and a relatively ample line bundle L on X, we study spaces of plurisubharmonic metrics on L, with particular focus on (relative) finite-energy conditions. We endow the space E 1 (L) of relatively maximal, relative finite-energy metrics with a d 1 -type distance given by the Lelong number at zero of the collection of fiberwise Darvas d 1 -distances. We show that this metric structure is complete and geodesic. Seeing X and L as schemes X K , L K over the discretely-valued field K = C((t)) of complex Laurent series, we show that the space E 1 (L an K ) of non-Archimedean finite-energy metrics over L an K embeds isometrically and geodesically into E 1 (L), and characterize its image. This generalizes previous work of Berman-Boucksom-Jonsson, treating the trivially-valued case.Résumé (L'espace des métriques d'énergie finie sur une dégénérescence de variétés complexes)Étant donné une dégénérescence de variétés projectives complexes X → D * avec des singularités méromorphes, et un fibré en droites relativement ample L sur X, nous étudions des espaces de métriques plurisousharmoniques sur L, avec une attention particulière aux conditions (relatives) d'énergie finie. Nous munissons l'espace E 1 (L) des métriques relativement maximales d'énergie finie d'une distance de type d 1 donnée par le nombre de Lelong en 0 de la famille des distances de Darvas d 1 fibre à fibre. Nous montrons que cette structure métrique est complète et géodésique. En considérant X et L comme des schémas X K , L K sur le champ discrètement valué K = C((t)) des séries de Laurent complexes, nous montrons que l'espace E 1 (L an K ) des métriques non archimédiennes d'énergie finie sur L an K s'immerge isométriquement et géodésiquement dans E 1 (L), et nous caractérisons son image. Ceci généralise un travail précédent de Berman-Boucksom-Jonsson, traitant le cas trivialement valué.

Convexity of multiplicities of filtrations on local rings

“…As shown in [BLXZ23, § 3.2] and [Reb23, § 4.7], various functionals on the space of filtrations are convex along geodesics. These convexity results are proven in [BLXZ23, § 3.2] using a measure on (similarly to the proof of Theorem 1.1) and imply the uniqueness of minimizers of the -functional on the space of valuations on a Fano variety [BLXZ23, § 3.3].…”