The Solvability of the Initial-Boundary Value Problems for a Nonlinear Schrodinger Equation with a Special Gradient Term

Abstract

In this paper, the initial-boundary value problems for the two-dimensional nonlinear Schrödinger equation with a special gradient term with purely imaginary coefficients in the nonlinear part, when the coefficients of the equation are measurable bounded functions, are considered. The existence and uniqueness of solutions of the first and second initial-boundary value problems is proved almost everywhere.

The Optimal Control Problem for One-Dimensional Nonlinear Shrodinger Equations With a Special Gradient Term

“…Начально-краевые задачи для линейного уравнения Шрёдингера со специальным градиентным слагаемым ранее изучены в работах [4,5]. Однако начально-краевые задачи для нелинейного уравнения Шрёдингера со специальным градиентным слагаемым ранее исcледованы в работах [20][21][22][23][24][25], когда коэффициенты уравнения являются измеримыми ограниченными функциями. Поэтому изучение задач оптимального управления нелинейного уравнения Шрёдингера со специальным градиентным слагаемым, когда управления являются квадратично суммируемыми функциями, создает необходимость исследования вопроса разрешимости начальнокраевых для этого уравнения и представляет немалый научный интерес для теоретической и практической точки зрения.…”

“…Используя это и предельные соотношения ( 22), ( 28) можем установить справедливость соотношений 23), ( 24) и ( 30), (31) если переходить к пределу в интегральном тождестве (25), то оттуда получим тождество…”

Необходимое Условие В Задаче Оптимального Управления Для Нелинейного Уравнения Шредингера Со Специальным Градиентным Слагаемым

“…Редуцированные задачи, то есть начально-краевые задачи для линейного и нелинейного нестационарного уравнений Шредингера со специальным градиентным слагаемым, ранее изучены, например, в работах [6,14,17] и др. Однако начальнокраевые задачи для нелинейного нестационарного уравнения Шредингера со специальным градиентным слагаемым, когда потенциал является комплекснозначной измеримой ограниченной функцией, зависящейся только от временной переменной, мало изучены.…”