The separable analogue of Kerr in Newtonian gravity

Abstract

General Relativity's Kerr metric is famous for its many symmetries which are responsible for the separability of the Hamilton-Jacobi equation governing the geodesic motion and of the Teukolsky equation for wave dynamics. We show that there is a unique stationary and axisymmetric Newtonian gravitational potential that has exactly the same dual property of separable point-particle and wave motion equations. This 'Kerr metric analogue' of Newtonian gravity is none other than Euler's 18th century problem of two-fixed gravitating centers.

Modification of photon trapping orbits as a diagnostic of non-Kerr spacetimes

“…An example is provided by the famous 'two-centre' Euler potential which, with the exception of the Keplerian one, is the only separable axisymmetric and equatorial-symmetric Newtonian potential (for more details see e.g. [42]). This potential is sourced by two point masses M/2 placed symmetrically along the z-axis at a distance a from the origin.…”

“…In fact the Euler potential comes in two flavours, an oblate and a prolate one, in the former case the distance between the centres being imaginary, a → ia. For the relativist it is the oblate Euler potential that is more interesting since it shares many of the special properties of the Kerr metric [42,43]. Despite the imaginary distance between the two point masses the potential itself is real-valued and takes the form…”

Newtonian analogue of a Kerr black hole

“…As it was shown in [21] the gravitational field of the Euler's problem, not only leads to a lot of similarities in the characteristics of test-particle orbits with those of the gravitational field of Kerr, but the separablity arising in the equations that determine the orbits (for both problems), is also exhibited in the scalar wave equation in both gravitational fields. Therefore the Newtonian type of wave equation…”

Μελέτη των ιδιοτήτων των τροχιών γύρω από μελανές οπές Kerr με τη χρήση νευτώνειων αναλόγων

“…Δεδομένου ότι το δυναμικό είναι αυτό του Euler προβλήματος (1.12), ή του αντίστοιχου επιμήκους (1.5), η εξίσωση (3.3) διαχωρίζεται στις σφαιροειδείς συντεταγμένες. Πιο συγκεκριμένα η κυματική λύση του πεπλατυσμένου Euler προβλήματος (Ψ = R(ξ)S(η)e imφ ) ικανοποιεί τις εξής διαχωρισμένες συνήθεις διαφορικές εξισώσεις [22]:…”

“…Πρόσφατα ο Μαρκάκης[21] προσπάθησε να γενικεύσει το αποτέλεσμα του Will, ψάχνοντας για νευτώνεια βαρυτικά πεδία που έχουν ολοκληρώματα κίνησης ανώτερης τάξης (συγκεκριμένα τέταρτης τάξης ως προς τις ορμές). Το συμπέρασμα στο οποίο κατέληξε, όμως, είναι ότι δεν υπάρχει τέτοιο νευτώνειο δυναμικό.3.2.2 Διαχωρισιμότητα της κυματικής εξίσωσης΄Οπως έχει αποδειχθεί στο[22] το βαρυτικό πεδίο του Euler είναι το μόνο στάσιμο, αξονικά και κατοπτρικά συμμετρικό νευτώνειο βαρυτικό δυναμικό από μια απομονωμένη πηγή που έχει το χαρακτηριστικό να διαχωρίζει την Hamilton-Jacobi εξίσωση, η οποία διέπει την κίνηση των σωματιδίων, αλλά επίσης να διαχωρίζει και την αντίστοιχη κυματική εξίσωση που αφορά σε βαθμωτά πεδία. Την ίδια ακριβώς συμπεριφορά έχει και η Kerr η οποία έχει της κατάλληλες συμμετρίες ώστε να διαχωρίζει τόσο την Hamilton-Jacobi εξίσωση για την γεωδαισιακή κίνηση των δοκιμαστικών σωματιδίων όσο και την Teukolsky[23] εξίσωση για την κυματική δυναμική.…”