The Schwarzian equation for completely replicable functions

Basraoui, Abdelkrim El; McKay, John

doi:10.1112/s1461157017000031

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“…Lie de simetrias de equações diferenciais, que foi publicado em [8]. Casos particulares de (2.65) também são investigadas em [18]. De Lucas e Sardón [14] consideram uma equação da forma S♣yq ✏ k♣y ✶ q 2 f ♣xq, em que k é constante e f ♣xq é uma função de x, todavia, não estudam sob o olhar de simetrias de Lie, eles trabalham sob o ponto de vista de sistemas de Lie, isto é, "um sistema de equações diferenciais que admite uma regra de superposição" [12,14].…”

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Generalizações de equações diferenciais envolvendo a derivada de Schwarz

Ramos da Conceição

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Antes de tudo, sou grata a Deus por estar comigo em todos os momentos me guiando, me capacitando e me sustentando com sua imensa graça e bondade. Pela minha mãe Palmerina Ramos da Conceição por todo apoio e orações que tem me dado não somente durante o doutorado como também em todas as etapas da minha vida. Meus agradecimentos ao Professor e Orientador Dr. Yuri Dimitrov Bozhkov pela amizade e parceria durante a minha trajetória, desde o mestrado até este doutorado, nas dificuldades e nos estudos. Ao Professor e Coorientador Dr. Stylianos Dimas por ter se juntado a mim e ao Dr. Bozhkov neste desafio, sua participação e contribuição foi de grandíssima importância. Agradeço ao Professor Dr. Meleshko por nos fornecer com prontidão o sistema correto sobre linearização de equações diferenciais e a toda banca examinadora que tornou possível a conclusão de mais esta etapa.Aos amigos da Igreja Batista Fonte que me acompanharam, torceram e oraram por mim durante este período. Minha alegria em Campinas foi ter conhecido, crescido e aprendido com vocês! À minha querida amiga Sinelandia que desde o início desta etapa esteve presente, com sua amizade, suas orações, seu carinho e sua gentileza. A todos os amigos do Espírito Santo, que torceram por mim e que estiveram comigo. Aos colegas do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC) pela alegre convivência, trocas de experiencias e conhecimentos. Muito Obrigada! Agradeço ao IMECC pela oportunidade de realizar este trabalho tão importante na minha vida acadêmica. Os desafios e etapas da vida não são vencidos sozinho, e eu sou imensamente grata por todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuíram para a minha vitória.O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior -Brasil (CAPES) -Código de Financiamento 001."Não que possamos reivindicar qualquer coisa com base em nossos próprios méritos, mas a nossa capacidade vem de Deus". (Bíblia Sagrada, 2 Coríntios 3:5) ResumoNesta tese, com as lentes da teoria de Sophus Lie de simetrias de equações diferenciais, trabalhamos com generalizações da equação diferencial de Kummer-Schwarz (EKS). Iniciamos com uma abordagem preliminar, envolvendo conceitos, aplicações na matemática, propriedades, simetrias de Lie, simetrias de contato e linearização da EKS e da derivada de Schwarz. Em seguida, sugerimos uma generalização da EKS e obtivemos resultados concernentes a ela. Tais resultados envolvem linearização de equações, grupos contínuos de equivalência e simetrias de contato. Além disso, estendemos nossa pesquisa para sistemas de equações diferenciais de terceira ordem e apresentamos uma expressão geral para o cálculo das simetrias de Lie para tais sistemas. Por fim, fizemos um estudo sobre equações diferenciais parciais (EDPs), mais especificamente, a equação Schwarziana de Korteweg-de Vries (SKdV) e sistemas de EDPs envolvendo a derivada de Schwarz.

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“…Há estudos que consideram o Schwarziano diferente de zero. Por exemplo, em [12,14,16,18] os autores trabalham a derivada de Schwarz igual a uma função específica. Há também na literatura estudos envolvendo a EKS e sistemas de Lie, ou seja, um sistema de equações diferenciais que admite uma regra de superposição [14,12].…”

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