The Plancherel Formula on Reductive Symmetric Spaces from the Point of View of the Schwartz Space

Delorme, Patrick

doi:10.1007/0-8176-4426-1_3

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“…Outre le résultat principal, l'un des intérêts de ce travail est l'adaptation des techniques de [25] aux fonctions de Whittaker. Au delà, il offre un cadre pour l'étude de l'analyse harmonique sur des espaces homogènes comme les espaces symétriques (voir par exemple [13] pour le cas réel). Concernant ceux-ci, le calcul du terme constant des intégrales d'Eisenstein sembleêtre l'un des obstacles majeursà surmonter.…”

Section: Introductionunclassified

Théorème de Paley—Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

Delorme¹

2012

J. Inst. Math. Jussieu

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RésuméSoit G un groupe réductif p-adique et U0 le radical unipotent d'un sous-groupe parabolique minimal de G. Nous introduisons une transformation de Fourier pour l'espace des fonctions de Whittaker lisses sur G et à support compact modulo U0. Nous en déterminons l'image. La preuve suit celle d'Heiermann pour les fonctions sur le groupe.Au cours de la preuve, une formule d'inversion est prouvée. Celle-ci permet de montrer qu'une représentation lisse irréductible de G, qui possède modèle de Whittaker dans les fonctions de Whittaker à support compact modulo U0, est cuspidale.Ce travail nous a donné l'opportunité de préparer un cadre pour l'analyse harmonique sur les espaces symétriques réductifs p-adiques: B-matrices et terme constant, propriétés des paquets d'ondes.

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Section: Introductionunclassified

Théorème de Paley—Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

Delorme¹

2012

J. Inst. Math. Jussieu

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Constant term of Eisenstein integrals on a reductive 𝑝-adic symmetric space

Carmona¹,

Delorme²

2014

Trans. Amer. Math. Soc.

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Abstract. Let H be the fixed point group of a rational involution σ of a reductive p-adic group on a field of characteristic different from 2. Let P be a σ-parabolic subgroup of G i.e. such that σ(P ) is opposite to P . We denote the intersection P ∩ σ(P ) by M . Kato and Takano on one hand, Lagier on the other hand associated canonically to an H-form, i.e. an H-fixed linear form, ξ, on a smooth admissible G-module, V , a linear form on the Jacquet module j P (V ) of V along P which is fixed by M ∩ H. We call this operation constant term of H-forms. This constant term is linked to the asymptotic behaviour of the generalized coefficients with respect to ξ.P. Blanc and the second author defined a family of H-forms on certain parabolically induced representations, associated to an M ∩ H-form, η, on the space of the inducing representation. The purpose of this article is to describe the constant term of these H-forms.Also it is shown that when η is discrete, i.e. when the generalized coefficients of η are square integrable modulo the center, the corresponding family of H-forms on the induced representations is a family of tempered, in a suitable sense, of H-forms. A formula for the constant term of Eisenstein integrals is given.

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Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

Delorme¹

2013

Ann. inst. Fourier

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International audienceWe prove the Plancherel formula for Whittaker functions on a reductive p-adic group. This a sequel to our work on Paley-Wiener theorem. Our proof is close to the proof written by Waldspurger of the Harish-Chandra Plancherel formula for smooth functions on the group and use many of his results. One simplification is the easy proof of the Fourier transfom, which follows from a result of Joseph Bernstein.Nous prouvons la formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique. Les méthodes sont proches de celles de lapreuve de Waldspurger, d’après Harish-Chandra, pour les fonctions lisses sur le groupe.Au delà du résultat, ce travail met en place un cadre qui devrait s’avérer utile pour d’autres formules de Plancherel, notamment pour les espaces symétriques réductifs p-adiques. En particulier, il met en valeur le role des matrices B et de leur propriété d’adjonction

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The Plancherel Formula on Reductive Symmetric Spaces from the Point of View of the Schwartz Space

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Théorème de Paley—Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

Théorème de Paley—Wiener pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

Constant term of Eisenstein integrals on a reductive 𝑝-adic symmetric space

Formule de Plancherel pour les fonctions de Whittaker sur un groupe réductif p-adique

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