The Parabola: Section of a Cone or Locus of Points of a Plane? Tips for Teaching of Geometry from Some Writings by Mydorge and Wallis

Abstract

This article proposes a possible path devoted to upper secondary school and early university students, as well as training teachers, with the aim to build a conscious approach to the learning/teaching of the conics, which uses, for an educational purpose, the close relationship between conics as loci of points of a plane and conics as sections of a cone. In this path, we will refer to some elements taken from the history of mathematics relating to a particular conic: the parabola. These elements could help students to discover and realize the transition from a parabola considered as a curve in a plane to the same parabola considered on a cone of which it is a section, as well as the inverse passage, and to grasp the profound link between two presentations of the same geometric object. Both steps will be carried out through constructions made with the use of the GeoGebra dynamic geometry software. In addition, it will be highlighted how the construction of conics by points has allowed the creation of lenses and mirrors, which represents a practical application of geometry very relevant to physics and astronomy. Such a practical approach could help students to overcome the difficulty in understanding conics by making the argument less abstract. Moreover, this path could build up an environment in which teachers and students could explore some semiotic registers and their changes, through which Mathematics expresses itself. In the final part, an educational experiment of the path that was proposed will be shown to the students of the Master’s degree course of “mathematics education” at the Department of Mathematics and Computer Science of the University of Calabria. The results of this experiment are described in detail and seem to confirm that the twofold view of the parabola as a section of a cone and as locus of points of a plane helps the students in understanding its meaning in both theoretical and applicative fields.

Geogebra como herramienta didáctica para el fortalecimiento del aprendizaje de secciones cónicas en bachillerato

“…En una investigación (Florio, 2022), se evidenció que las cónicas eran enseñadas a los estudiantes como un lugar geométrico olvidando su relación con las cónicas como secciones de un cono, por lo que con la integración de GeoGebra se pudo construir simulaciones dinámicas que permitan la conexión de un modelo visible con los registros geométricos y algebraicos, y que a través de deslizadores y otras herramientas dinámicas los estudiantes puedan interactuar con el problema y dando la posibilidad de medir las distancias, áreas, volumen, entre otras propiedades. Los resultados del proyecto investigativo confirmaron que la doble vista de la parábola tanto como una sección de un cono y un lugar geométrico en el plano con la utilización de GeoGebra ayudó a los estudiantes en la comprensión de su significado tanto en el campo teórico como aplicativo, adicional, el autor menciona que la integración de GeoGebra puede permitir a los profesores guiar a los estudiantes a identificar y desarrollar nuevas relaciones entre objetos y proyectar experimentos tanto en ambientes geométricos de 2 y 3 dimensiones.…”

“…De la misma manera, al aplicarse la prueba nacional Ser Bachiller (INEVAL, 2020), se demostró nuevamente las bajas puntuaciones en el área de matemática. Aunado a esto, varios autores (Florio, 2022), han evidenciado las dificultades que existen en la enseñanza de la matemática, resultando preocupante que no es un problema solo de estudiantes, sino también un problema docente. En este sentido se ha observado en la región que un importante número de docentes tienen carencias de dominio matemático a pesar de tener la responsabilidad de enseñarla.…”

“…La investigación se realiza en la Unidad Educativa Juan León Mera, ubicada en el cantón Montecristi de la provincia de Manabí, y se selecciona una temática de la geometría, particularmente secciones cónicas, debido a las deficiencias que presentan los estudiantes de bachillerato en esta área (Aray Andrade et al, 2019;Florio, 2022), además, por el bajo rendimiento según los resultados de las pruebas estandarizadas internacionales, nacionales, y los informes de calificaciones que presentan los docentes de matemáticas de las instituciones educativas. Adicionalmente, el tema de cónicas es abstracto e involucra la relación analítica y grafica de los conceptos, donde las dificultades se presentan por la falta de conexión entre la representación gráfica de las cónicas con sus ecuaciones algebraicas, y GeoGebra dada sus características, como recurso didáctico complementario fortalece el aprendizaje de las secciones cónicas.…”