The Numerical Stability of the Levinson-Durbin Algorithm for Toeplitz Systems of Equations

Abstract

The numerical stability of the Levinson-Durbin algorithm for solving the Yule-Walker equations with a positive-definite symmetric Toeplitz matrix is studied. Arguments based on the analytic results of an error analysis for fixed-point and floating-point arithmetics show that the algorithm is stable and in fact comparable to the Cholesky algorithm. Conflicting evidence on the accuracy performance of the algorithm is explained by demonstrating that the underlying Toeplitz matrix is typically ill-conditioned in most applications.

Stabilité numérique de l'algorithme de Levinson

“…Ainsi, en exploitant la structure « Toeplitz » de la matrice, on a pu réduire la complexité de calcul de O(n 3 Les propriétés de stabilité numérique de cet algorithme ont été le sujet de beaucoup de controverses. Quelques auteurs affirment que l'algorithme LD a une performance médiocre en précision, tandis que d'autres le trouvent acceptable [9], Tous ces points de vue sont accompagnés de résultats expé-rimentaux. Ces controverses ne peuvent être réconciliées que si le conditionnement du système associé est pris en considération.…”

“…A cette fin, quelques résultats importants ont été déjà obtenus dans [9] et [5]: -Bunch (1985) a montré que les algorithmes basés sur le partitionnement de la matrice peuvent être instables sauf peut-être si la matrice est symétrique définie positive [5]. L'algorithme de Levinson est de cette base.…”

Bounds on the Extreme Eigenvalues of Real Symmetric Toeplitz Matrices

“…Once f has been computed, f is obtained by an inner product in O(n) flops: f (λ) = 1 + w 2 . In addition, Durbin's method provides a factorization (proved in [8]…”

Stability analysis of a general toeplitz systems solver

“…We do not consider this here, except to note that our algorithm can easily be modified to compute the Cholesky factorisation of A T A + αI, where α is a positive regularisation parameter. Only small changes in equations (20)(21)(22)(23) are required.…”

“…Consider algorithms for solving a nonsingular, n × n linear system Ax = b, so m = n. There are many definitions of numerical stability in the literature, for example [5,6,9,12,16,22,36,48,57,61,70]. Definitions 1 and 2 below are taken from Bunch [17].…”