The abcd conjecture, uniform boundedness, and dynamical systems

Abstract

We survey Vojta's higher-dimensional generalizations of the abc conjecture and Szpiro's conjecture as well as recent developments that apply them to various problems in arithmetic dynamics. In particular, the "abcd conjecture" implies a dynamical analogue of a conjecture on the uniform boundedness of torsion points and a dynamical analogue of Lang's conjecture on lower bounds for canonical heights.Résumé. -Nous décrivons des généralisations en dimension supérieure dues à Vojta de la conjecture abc et de la conjecture de Szpiro, ainsi que des avancées récentes qui les utilisent dans des problèmes variés de dynamique arithmétique. En particulier, la « conjecture abcd » implique un analogue dynamique de la conjecture de torsion et un analogue dynamique de la conjecture de Lang sur les minorations de hauteurs canoniques.