The Method of Singular Equations in Boundary Value Problems in Kinetic Theory

Abstract

We develop a new effective method for solving boundary value problems in kinetic theory. The method permits solving boundary value problems for mirror and diffusive boundary conditions with an arbitrary accuracy and is based on the idea of reducing the original problem to two problems of which one has a diffusion boundary condition for the reflection of molecules from the wall and the other has a mirror boundary condition. We illustrate this method with two classical problems in kinetic theory : the Kramers problem (isothermal slip) and the thermal slip problem. We use the Bhatnagar-Gross-Krook equation (with a constant collision frequency) and the Williams equation (with a collision frequency proportional to the molecular velocity).

The Kramers problem for quantum bose-gases with constant collision frequency and specular-diffusive boundary conditions

“…Затем в более общей постановке с учетом слабого испарения (конденсации) эта задача была решена методом Кейза в нашей работе [26]. Задача Крамерса в дальнейшем была обобщена на случай бинарных газов [27]- [30], была решена с использованием высших моделей уравнения Больцмана [31]- [33], была обобщена на случай зеркально-диффузных граничных условий [34]- [36].…”

“…В настоящей работе применяется новый эффективный метод решения граничных задач с зеркально-диффузными граничными условиями, развитый в работе [66].…”

“…10 ЗаключениеВ настоящей работе с помощью развитого недавно[66] нового метода решена полупространственная граничная задача кинетической теории задача Крамерса об изотермическом скольжении квантового Бозе-газа с постоянной частотой столкновений молекул и с зеркально-диффузными граничными условиями. В основе метода лежит идея продолжить функцию распределения в сопряженное полупространство x < 0 и включить в кинетическое уравнение граничное условие в виде члена типа источника на функцию распределения, отвечающую непрерывному спектру.…”

Plasma waves reflection from a boundary with specular accommodative boundary conditions

“…In particular, accommodative boundary conditions are widely used. They are divided into two forms: diffuse accommodative and specular accommodative boundary conditions (see [12]).…”

Solution of the Kramers' problem about isothermal sliding of moderately dense gas with accomodation boundary conditions

“…In our works [17], [18] and [19] the approximation methods of the solution of boundary problems of kinetic theory have been developed.…”