The Liouville equation, the hydrodynamic substitution, and the Hamilton-Jacobi equation

The Hamilton-Jacobi method in the non-Hamiltonian situation and the hydrodynamic substitution

“…Applying substitution (4) to Eq. (2), we obtain the continuity and motion equa tions of the surface [7,8]:…”

“…In [4][5][6], Kozlov out lined the simplest derivation of the Hamilton-Jacobi (HJ) equation, and the hydrodynamic substitution simply related this derivation to the Liouville equation [7,8]. The hydrodynamic substitution also solves the interesting geometric problem of how a surface of any dimension subject to an arbitrary system of nonlinear ordinary differential equations moves in Euler coordi nates (in Lagrangian coordinates, the answer is obvi ous).…”

“…The hydrodynamic substitution, which is well known in the theory of the Vlasov equation [1][2][3], has recently been applied to the Liouville equation and Hamiltonian mechanics [4][5][6][7][8]. In [4][5][6], Kozlov out lined the simplest derivation of the Hamilton-Jacobi (HJ) equation, and the hydrodynamic substitution simply related this derivation to the Liouville equation [7,8].…”

The Hamilton–Jacobi method for non-Hamiltonian systems

“…Гидродинамическая подстановка [1][2][3] до недавних пор использовалась в основном в теории уравнения Власова. Однако недавно была продемонстрирована ее применимость к уравнению Лиувилля и гамильтоновой механике [4][5][6][7][8][9]. В работах В. В. Козлова [4][5][6] был намечен простейший вывод уравнения Гамильтона -Якоби (ГЯ), а гидродинамическая подстановка связала этот вывод с уравнением Лиувилля [8,9].…”

“…Однако недавно была продемонстрирована ее применимость к уравнению Лиувилля и гамильтоновой механике [4][5][6][7][8][9]. В работах В. В. Козлова [4][5][6] был намечен простейший вывод уравнения Гамильтона -Якоби (ГЯ), а гидродинамическая подстановка связала этот вывод с уравнением Лиувилля [8,9]. Более того, при внимательном анализе свойств исследуемой подстановки можно видеть, что она обладает свойством широкой универсальности и может быть использована для исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) достаточно общего вида.…”