The limiting distribution of Legendre paths

Abstract

Let p be a prime number and ( • p ) be the Legendre symbol modulo p. The Legendre path attached to p is the polygonal path whose vertices are the normalized character sumsIn this paper, we investigate the distribution of Legendre paths as we vary over the primes p such that Q ⩽ p ⩽ 2Q, when Q is large. Our main result shows that as Q → ∞, these paths converge in law, in the space of real-valued continuous functions on [0, 1], to a certain random Fourier series constructed using Rademacher random completely multiplicative functions. This was previously proved by the first author under the assumption of the Generalized Riemann Hypothesis.Résumé (La répartition limite des chemins de Legendre). -Soient p un nombre premier et ( • p ) le symbole de Legendre modulo p. Le chemin de Legendre attaché à p est le chemin polygonal dont les sommets sont les sommes de caractères normalisées 1 √ p n⩽j ( n p ) pour 0 ⩽ j ⩽ p − 1. Dans cet article, nous étudions la répartition des chemins de Legendre lorsqu'on varie le premier p dans un intervalle [Q, 2Q], où Q est grand. Notre résultat principal montre que lorsque Q → ∞, ces chemins convergent en loi, dans l'espace des fonctions continues à valeurs réelles sur [0, 1], vers une certaine série de Fourier aléatoire construite en utilisant des fonctions aléatoires complètement multiplicatives de Rademacher. Ceci a été démontré précédemment par le premier auteur sous l'hypothèse de Riemann généralisée.