The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems

Abstract

We provide a simple and explicit example of the influence of the kinetic energy in the stability of the equilibrium of classical Hamiltonian systems of the type H (q, p)=< B(q)p; p >+ (q). We construct a potential energy of class C k with a critical point at 0 and two different positive defined matrices B 1 andB 2 , both independent of q, and show that the equilibrium (0, 0) is stable according to Lyapunov for the Hamiltonian H 1 = < B 1 (q)p; p > + (q), while for H 2 = < B 2 (q)p; p > + (q) the equilibrium is unstable. Moreover, we give another example showing that even in the analytical situation the kinetic energy has influence in the stability, in the sense that there is an analytic potential energy and two kinetic energies, also analytic, T 1 and T 2 such that the attractive basin of (0, 0) is a two-dimensional manifold in the system of Hamiltonian + T 1 and a one-dimensional manifold in the system of Hamiltonian + T 2 .

Energia cinética e pontos de equilíbrio de sistemas hamiltonianos

“…Em 2005 o artigo de Garcia & Tal [5] no qual se baseia essa dissertação foi publicado exibindo um exemplo simples do mesmo resultado que Bertotti & Bolotin [3], só que para um caso um pouco diferente em que as energias cinéticas são C ω (ao invés de apenas C ∞ ) e a energia potencial envolvidá e C k , mas não C ∞ . Na segunda parte desse mesmo artigo eles mostraram que existe influência não trivial da energia cinética na dimensão da bacia de atração da origem, mesmo no caso em que o hamiltonianoé analítico.…”

“…Otimizando um expoente Neste capítulo começamos o estudo da influência da energia cinética na dimensão da bacia de atração do equilíbrio que temos na origem dos eixos coordenados de uma família de sistemas hamiltonianos. Analisamos o problema seguindo de perto o artigo de Garcia & Tal [5], com a exceção de que o termo que fazia o papel de uma "direção" com máximo na origem era o termo fixado −q 10 2 que no nosso caso será um termo mais geral apresentando máximo na origem da forma −k|q 2 | β com as hipóteses adicionais k > 0, para garantir que 0 seja um ponto de máximo, e β ≥ 2 para garantir que os hamiltonianos envolvidos sejam C 2 (R 4 ). Contudo, em nossa abordagem pediremos β > 2 o que não constitui um grande problema, já que o teorema principal dessa seção exige uma condição mais forte.…”

“…Nosso objetivo neste trabalho foi estudar a segunda parte do artigo de Garcia & Tal [5] sobre a influência da energia cinética na análise da estabilidade em sistemas hamiltonianos. Apesar de não tratarmos diretamente da estabilidade segundo Liapunov, nossa análise fornece indício de alguma influência da energia cinética, já que, mesmo para casos analíticos, conseguimos obter uma família de potenciais cuja bacia de atraçãoé perturbada (no sentido de sua dimensão como subvariedade de R 4 ) pela mudança de energia cinética que estudamos.…”

“…Estudaremos uma influência não trivial da energia cinética sobre pontos de equilíbrio de sistemas Hamiltonianos a partir da segunda parte do artigo de Garcia & Tal The influence of the kinetic energy in equilibrium of Hamiltonian systems [5]. Nesse artigo demonstra-se, para um exemplo explícito de Hamiltonianos C ω (R 4 ) definidos por H i = T i + π para i ∈ {1, 2}, que as bacias de atração de H 1 e H 2 são subvariedades de R 4 com dimensão distinta.…”

“…Um resultado de Bertotti e Bolotin [3] em 2000 mostra a existência de uma energia potencial C ∞ cujo equilíbrioé estável para uma energia cinética T 1 e instável para T 2 , ambas C ∞ . Já em 2005, Garcia e Tal [5] apresentaram um exemplo explícito, mais simples e inédito, da influência da energia cinética na estabilidade do equilíbrio para hamiltonianos C k . Mais do que isso o caso analíticoé estudado e outro exemploé fornecido para mostrar que a energia cinética CAPÍTULO 1.…”