The Implementation of Spectral Element Method in a CAE System for the Solution of Elasticity Problems on Hybrid Curvilinear Meshes

Abstract

Modern high-performance computing systems allow us to explore and implement new technologies and mathematical modeling algorithms into industrial software systems of engineering analysis. For a long time the finite element method (FEM) was considered as the basic approach to mathematical simulation of elasticity theory problems; it provided the problems solution within an engineering error. However, modern high-tech equipment allows us to implement design solutions with a high enough accuracy, which requires more sophisticated approaches within the mathematical simulation of elasticity problems in industrial packages of engineering analysis. One of such approaches is the spectral element method (SEM). The implementation of SEM in a CAE system for the solution of elasticity problems is considered. An important feature of the proposed variant of SEM implementation is a support of hybrid curvilinear meshes. The main advantages of SEM over the FEM are discussed. The shape functions for different classes of spectral elements are written. Some results of computations are given for model problems that have analytical solutions. The results show the better accuracy of SEM in comparison with FEM for the same meshes.

Numerical modeling of residual stresses in additive manufacturing products using the theory of repeatedly superimposed finite strains

“…The problem is solved using the finite element method [24] or the spectral element method [25]. The discretization is performed using the Galerkin approach.…”

Моделирование Полос Локализации Деформаций В Пороупругопластическом Теле С Использованием Метода Спектральных Элементов На Графических Процессорах

“…Для численного решения поставленной задачи используются вариационная постановка на основе метода Галеркина и изопараметрический метод спектральных элементов [9,10,11] для дискретизации геометрической модели и уравнений по пространству на криволинейных неструктурированных сетках, позволяющих, в том числе, аппроксимировать криволинейную геометрию тела с высоким порядком точности и разгрублением сетки (увеличением размера спектральных элементов) при удалении от концентраторов напряжений [3,4]. При проведении расчетов модельных задач использовались порядки спектральных элементов до 15го.…”

Discontinuous Spectral Element Method for Solving Problems of Strength Analysis on Curvilinear Nonconformal Meshes

“…Рассмотрен подход к численному решению краевых задач механики деформируемого твердого тела на неконформных неструктурированных криволинейных сетках с использованием разрывного метода спектральных элементов [2,5,11]. Расчетная область разбивается на подобласти, внутри которых возможно осуществить дискретизацию конформными спектрально-элементными сетками [7,8]. На границах подобластей ставятся граничные условия первого и второго рода, обеспечивающие непрерывность решения (напряженно-деформированного состояния) во всей области, включая внутренние границы.…”

“…Непрерывность нормальных напряжений в областях контакта обеспечивается соответствующими дополнительными членами в матрице жесткости, полученными от граничных интегралов по зонам контакта в рамках слабой формулировки краевой задачи по методу Галеркина (непрерывность нормальных напряжений в слабом смысле) [11,12]. Дискретизация по пространству с высоким порядком обеспечивается применением метода спектральных элементов на криволинейных сетках [3,7,8]. Описанный алгоритм позволяет получить корректное численное решение на неструктурированных неконформных сетках, состоящих из криволинейных спектральных элементов, с возможностью задания различных порядков пространственной аппроксимации в а также обеспечить непрерывность решения по C-норме для основных переменных задачи (перемещений) и непрерывность по L2-норме для нормальных напряжений в зонах контакта (границах подобластей).…”