The hidden martingale restriction in Gram‐Charlier option prices

Corrado, Charles J.

doi:10.1002/fut.20255

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“…Proposition 3 generalizes the results in Corrado andSu (1996, 1997) and Backus, Foresi and Wu (2004), where the Black-Scholes formula is adjusted for skewness and kurtosis using a onedimensional Gram-Charlier approximation. Indeed, if one sets s 2 = K, ν 2 = 0, and all Φ i,j , Ψ i,j to zero except Φ 3,0 and Ψ 4,0 , one will get the one-dimensional result.…”

Section: Proposition 3 Suppose Log S 1 (T ) and Log S 2 (T ) After Smentioning

confidence: 72%

The Impact of Return Nonnormality on Exchange Options

2007

SSRN Journal

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The Margrabe formula is used extensively by theorists and practitioners not only on exchange options, but also on executive compensation schemes, real options, weather and commodity derivatives, etc. However, the crucial assumption of a bivariate normal distribution is not fully satisfied in almost all applications. The impact of nonnormality on exchange options is studied by using a bivariate Gram-Charlier approximation. For near-the-money exchange options, skewness and coskewness induce price corrections which are linear in moneyness, while kurtosis and cokurtosis induce quadratic price corrections. The nonnormality helps to explain the implied correlation smile observed in practice.

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Section: Proposition 3 Suppose Log S 1 (T ) and Log S 2 (T ) After Smentioning

confidence: 72%

The Impact of Return Nonnormality on Exchange Options

2007

SSRN Journal

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“…The Gram-Charlier model under traditional risk neutrality was developed initially by Corrado and Su (1996) and corrected by Brown and Robinson (2002). It is however not arbitrage-free since it does not satisfy the explicit or true Martingale restriction (Corrado, 2007). 17 Presentation of these intermediate steps is detailed in the appendix of Jurczenko et al (2002a, b).…”

Section: Valuing the Skewness-and Kurtosis-adjusted European Futures mentioning

confidence: 99%

“…8 The true Martingale restriction corresponds to a first-moment restriction on a truncated (here four-moment) expansion of the normal density function; the latter actually becomes a Gram-Charlier density when the Jondeau-Rockinger positivity constraint is satisfied. This approach is developed in Backus et al (2004), Corrado (2007), Jurczenko et al (2002aJurczenko et al ( ,b, 2004, Ki et al (2005), or Kochard (1999). This restriction takes into account the third and fourth moments of the risk-neutral density function of the indebtedness-value changes; it is thus more general than Longstaff's (1995) Martingale restriction based on the first two moments of the log-normal density.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 98%

Marking-to-model credit and operational risks of loan commitments: A Basel-2 advanced internal ratings-based approach

Chateau

2009

International Review of Financial Analysis

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“…En dernier lieu, l'évaluation indirecte est très tributaire de la calibration des paramètres de la structure par terme des taux d'intérêt, une problématique mise en évidence, entre autres, par Nawalka et al (2007) et Pennacchi (2008. Quant à nous, nous proposons une approche structurelle étendue qui intègre les facettes suivantes : (i) la valeur du put à terme implicite à tout engagement reflète correctement son risque « réel » de crédit, (ii) cette valeur incorpore bien dissymétrie mais surtout excès d'aplatissement positif de la distribution des variations de la valeur d'endettement à terme 7 et (iii) le put de Johnson constitue une avancée par rapport à celui de Gram-Charlier sous contraintes utilisé, précédemment, entre autres, par Corrado (2007), Chateau (2009), ou encore Jurczenko et al (2004). Notre expression finale 7.…”

unclassified

Contribution à la réglementation de Bâle-3 : de la consistance interne du continuum du crédit commercial en marquant à la « valeur de modèle » le risque de crédit des engagements de crédit

Château¹

2011

L'Actualité économique

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Dans le cadre de Bâle-2, l’étude vise à calculer pour les banques canadiennes la charge en capital afférente aux engagements de crédit hors bilan qui s’avère consistante avec celle des prêts au comptant au bilan. Cette consistance s’obtient en sélectionnant le risque de crédit des engagements (par similitude avec celui des prêts commerciaux) au lieu de la durée initiale des engagements (comme prescrit par Bâle-2) comme déterminant principal du calcul. Pour y arriver, nous proposons la « valeur de ou au modèle » comme approche avancée fondée sur les notations internes (NI) : dans celle-ci, le risque de crédit est appréhendé par une option de vente (put) basée sur une distribution de Johnson à quatre paramètres de la « valeur d’endettement à terme » (ce terme désignant la valeur de modèle de l’engagement). Ensuite, lors du calcul de la « juste » charge en capital d’un engagement, le risque « réel » de crédit, évalué comme put à terme de Johnson, est combiné avec la proportion de tirage de la ligne de crédit. Cette charge étant très modérée, l’approche « valeur de modèle » constitue une approche NI avancée « efficiente » puisqu’elle réduit la charge en capital par rapport à celle obtenue par l’approche Bâle-2 simplifiée ou même par rapport à celles obtenues par d’autres procédures NI avancées propres aux banques. Enfin, la valeur au modèle permet de déterminer la charge en capital additionnelle induite par une baisse de la cote de crédit d’un emprunteur. Cette application pratique s’appuie sur la correspondance entre valeurs d’endettement et cotes de crédit d’agences de notation externes ainsi que sur l’existence d’une matrice de probabilités de transition entre notations de crédit en début et fin de période.This research aims to bring some internal consistency to the computation of the credit-risk capital charge of loan commitments and commercial spot loans, namely the components of the commercial credit continuum. Consistency is achieved by using commitment credit risk (as for commercial-loan risk) instead of commitment initial term (as mandated by Basel-2) as the computation main determinant. This is done by proposing marking to model as the bank’s advanced internal-ratings-based (AIRB) approach : credit risk is captured by a four-parameter Johnson distribution of the commitment marked-to-model value (also known as the indebtedness futures value). Once priced as a Johnson’s futures put option, “true” credit risk is combined with the commitment exercise-cum-funding proportion so as to compute the commitment “fair” capital charge. As the latter is quite moderate, marking to model is an “efficient” AIRB approach that offers capital relief with respect to Basel-2 simplified approach but also with respect to the banks’ own alternative AIRB procedures. Marking to model also helps determine the banks’ incremental capital cost caused by borrowers’ credit-rating downgrades. This policy implication hinges on mapping indebtedness values into borrowers’ credit ratings of external agencies and using transition probabilities b...

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The hidden martingale restriction in Gram‐Charlier option prices

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The Impact of Return Nonnormality on Exchange Options

The Impact of Return Nonnormality on Exchange Options

Marking-to-model credit and operational risks of loan commitments: A Basel-2 advanced internal ratings-based approach

Contribution à la réglementation de Bâle-3 : de la consistance interne du continuum du crédit commercial en marquant à la « valeur de modèle » le risque de crédit des engagements de crédit

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