The Gauss–Kronecker curvature of minimal hypersurfaces in four-dimensional space forms

Abstract

Let Q 4 (c) be a four-dimensional space form of constant curvature c. In this paper we show that the infimum of the absolute value of the Gauss-Kronecker curvature of a complete minimal hypersurface in Q 4 (c), c ≤ 0, whose Ricci curvature is bounded from below, is equal to zero. Further, we study the connected minimal hypersurfaces M 3 of a space form Q 4 (c) with constant Gauss-Kronecker curvature K . For the case c ≤ 0, we prove, by a local argument, that if K is constant, then K must be equal to zero. We also present a classification of complete minimal hypersurfaces of Q 4 (c) with K constant.

Hipersuperficies completas com curvatura de Gauss-Kronecker nula em esferas

“…Embora todos os resultados aqui apresentados serem válidos para qualquer valor de c, nos argumentos e provas usaremos que c = 0 ou c = ±1; istoé, Q n+k (c)é a esfera unitária S n+k (1) …”

A curvatura de Gauss-Kronecker de hipersuperfícies mínimas em espaços forma quadridimensionais

“…Neste trabalho focamos na análise dos resultados obtidos por Asperti et al [1] e Hasanis et al [17], que motivados pelos resultados citados acima estudam a curvatura de Gauss-Kronecker de hipersuperfícies mínimas em espaços forma quadridimensionais. A seguir, faremos um breve resumo do que será abordado em cada capítulo.…”

“…No Capítulo 2, nos focamos no estudo dos resultados para os casos Euclideano e hiperbólico, obtidos por Asperti et al em [1]. O Lema 2.4 tem papel central na demonstração dos resultados apresentados, dando uma expressão para o Laplaciano da função F = ln|K|, onde K é a curvatura de Gauss-Kronecker de hipersuperfícies tridimensionais conexas minimamente imersas em Q 4 (c).…”

“…Nesse trabalho, estudamos os resultados obtidos por Asperti et al [1] e Hasanis et al [17] envolvendo a curvatura de Gauss-Kronecker de hipersuperfícies mínimas em espaços forma quadridimensionais. Apresentamos conceitos relativos ao estudo de variedades Riemannianas, assim como a técnica do referencial ortonormal móvel utilizada pelos dois artigos.…”

“…Apresentamos conceitos relativos ao estudo de variedades Riemannianas, assim como a técnica do referencial ortonormal móvel utilizada pelos dois artigos. Entre os resultados de [1], destaca-se para os casos Euclideano e hiperbólico uma versão local do resultado obtido por Cheng [4]. No caso esférico, obtemos uma isometria entre a imagem de uma imersão mínima de uma hipersuperfície completa com curvatura de Gauss-Kronecker constante não nula e o toro de Clifford.…”