The Efimov effect. Discrete spectrum asymptotics

Abstract

We study a three-particle Schrόdinger operator H for which none of the two-particle subsystems has negative bound states and at least two of them have zero energy resonances. We prove that under this condition the number N(z) of bound states of H below z < 0 has the asymptotics N(z) ~ 9I 0 |log|z|| as z -> -0, where the coefficient 9I 0 depends only on the ratio of masses of the particles.

The efimov effect of three-body schrödinger operators: Asymptotics for the number of negative eigenvalues

“…Denote by N(E), E > 0, the number of negative eigenvalues less than -E. Then the main result obtained here is, somewhat loosely stating, that N(E) behaves like | log E | as E-+0. We first formulate precisely the main theorem and then make a brief comment on the recent related result obtained by Sobolev [7].…”

Tosio Kato’s work on non-relativistic quantum mechanics: part 2

“…The discovery on a formal level is due to Efimov [135] after whom the effect is named. For mathematical proofs see Yafaev [695], Tamura [634,635], Sobolev [621] and Ovchinnikov-Sigal [472]. Wang [671,672] discussed this for N -body systems.…”

О Спектре Оператора Энергии Двухмагнонных Систем В Трехмерной Изотропной Примесной Ферромагнитной Модели Гейзенберга

“…В работах [2], [3] эта задача изучалась в физическом аспекте. Строгое математическое доказательство существования эффекта Ефимова было проведено впервые в работе [4], а затем в работах [5]- [7].…”

“…Здесь ε = J 0 − J. Конечность или бесконечность дискретного спектра данного трехчастичного дис-кретного оператора Шредингера зависит от количества двухчастичных подсистем, имеющих так называемый виртуальный уровень на краю существенного спектра трехчастичной системы [5]- [7]. Дискретный спектр системы конечен, если на краю существенного спектра только одна двухчастичная подсистема имеет виртуальный уровень или виртуальных уровней у двухчастичных подсистем нет вообще.…”