The centipede is determined by its Laplacian spectrum

Abstract

A centipede is a graph obtained by appending a pendant vertex to each vertex of degree 2 of a path. In this paper we prove that the centipede is determined by its Laplacian spectrum. To cite this article: R. Boulet, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). RésuméLe mille-pattes est déterminé par le spectre du Laplacien. Un mille-pattes est un graphe obtenu en attachant un sommet pendantà chaque sommet de degré 2 d'une chaîne. Dans cet article nous montrons qu'un mille-pattes est déterminé par le spectre du Laplacien. Pour citer cet article : R. Boulet, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008). Version française abrégéeLe Laplacien L d'un graphe est la matrice L = D − A où D est la matrice diagonale des degrés et A est la matrice d'adjacence du graphe. Le spectre du Laplacien donne des informations sur la structure du graphe, comme la connexité (voir [2, 4] pour plus de détails), ces informations sont souvent insuffisantes pour reconstruire le grapheà partir du spectre et la question « Quels graphes sont déterminés par leur spectre ? » [2] demeure un problème difficile. En particulier il est connu [5] que presque aucun arbre n'est déterminé par le spectre du Laplacien et seules quelques familles d'arbres déterminés par leur spectre ont jusqu'alorsété découvertes (citons par exemple [6] et [7]).On appelle mille-pattes le graphe obtenu en attachant un sommet pendantà chaque sommet de degré 2 d'une chaîne (voir figure 1). Nous montrons dans cet 1 article que le mille-pattes est déterminé par le spectre du Laplacien, enrichissant ainsi les familles connues d'arbres déterminés par le spectre du Laplacien.On note P k la chaîneà k sommets et T le triangle. Deux graphes sont dits A-cospectraux (resp.

Graphs determined by signless Laplacian spectra

“…Since T is a tree of order n, by Lemma 2.3, P Q (H) = n2 s is divisible by 4. Hence T ∪ rK 1 ∪ sK 2 is DQS when n is not divisible by 2 and s = 1.✷ Remark 1 Some DLS trees are given in [1,13,14,33,37,39]. We can obtain DLS (DQS) graphs with independent edges and isolated vertices from Theorem 3.1.…”

Signless Laplacian spectral characterization of graphs with isolated vertices

“…Remark 3.1. Some DLS trees are given in [1,2,4,22,24,26,27,29]. We can obtain DLS (DQS) graphs with isolated vertices from Theorem 3.1.…”

Laplacian Spectral Characterization of Some Unicyclic Graphs

“…Here, we describe a classic method to count the number of closed walks of a given length in a graph (see [2,13,14]). For a graph , ( ) stands for the number of closed walks of length in and ( ) stands for the number of subgraphs of which are isomorphic to graph .…”