The Boltzmann equation and relaxation-time approximation for electron transport in solids

Abstract

Cet article réexamine la description théorique du transport électronique dans un solide cristallin fondée sur l'équation cinétique de Boltzmann telle qu'elle est enseignée aux étudiants en doctorat. Le terme de collision présent dans cette équation est souvent remplacé par une « approximation du temps de relaxation » qui a été désavouée par Bardeen et Peierls. Nous proposons à la place une description des transports de charge électrique et de chaleur fondée sur le fait que, dans les collisions électron-réseau, l'énergie de l'électron est relaxée à un taux très inférieur au taux de relaxation de la vitesse instantanée. On considère aussi que les transports de charge et de chaleur n'entraînent qu'une faible perturbation de l'équilibre thermodynamique du gaz d'électrons. Cet équilibre est assuré par les vibrations de réseau qui imposent leur température locale au gaz électronique hébergé dans le réseau. Dans ces conditions, l'écoulement des électrons est décrit en termes de dynamique d'un fluide, régie par la pression de ce fluide. On montre comment l'équation de transport de Boltzmann aboutit à une densité de courant électrique déterminée par le gradient électrochimique -en l'absence d'un gradient de température-alors que seul le gradient électrique apparaît dans cette équation. Cette description englobe tout à la fois les solides métalliques et semi-conducteurs. Les expressions des densités de courant électrique et thermique sont obtenues sans recourir à l'ansatz du temps de relaxation pour simplifier l'effet des collisions, mais sans effort mathématique supplémentaire. On examine ensuite cet ansatz en détail. On montre qu'il est en contradiction avec les principes de la thermodynamique alors même qu'il vise à rendre compte de l'équilibrage thermodynamique local du gaz des électrons de conduction. On montre aussi que cet ansatz implique l'identité des taux de relaxation de l'énergie et de la vitesse instantanée en contradiction flagrante avec la véritable physique des collisions dans les solides.Mots-clés conduction électronique dans les solides, équation de transport de Boltzmann, approximation du temps de relaxation PACS 01.40.Ha, 05.20.Dd, 72.10.Bg

Resistivity anisotropy from the multiorbital Boltzmann equation in nematic FeSe

“…In this case the so-called relaxation-time approximation becomes exact and Eq. ( 8) defines the transport scattering time [46,51,52,60,61]. However, for a generic band structure w and v are not necessarily parallel and one should solve explicitly Eq.…”

The basis of the semiclassical description of electron transport in solids

“…La description semi-classique du transport électronique dans un solide cristallin, telle que présentée dans l'article de synthèse de Bardeen [1], a guidé la recherche fondamentale en matériaux électroniques et le développement des dispositifs microélectroniques [2] -à l'exception des dispositifs fonctionnant en champ électrique élevé où le transport se fait loin de l'équilibre thermodynamique à la température du réseau [2,3]. Cette description repose sur celle, classique, de Lorentz en 1905 [4] à laquelle Sommerfeld et Bloch ont adjoint en 1928 des éléments statistiques et dynamiques de physique quantique [5][6][7][8][9]. Le traitement monoélectronique de Bloch est apparenté à la méthode du champ autocohérent développée par Hartree et par Fock pour la distribution des électrons dans des atomes polyélectroniques.…”

“…La transformée de Wigner de cet article intègre les caractéristiques du réseau cristallin, comme son volume fini et la structure torique de l'espace des pseudo-impulsions. En l'absence de U 2 l'équation dynamique sur f W est de type Boltzmann-Lorentz balistique pourvu que f W (r, p) varie lentement avec p de sorte que seule compte la valeur locale ∇(−U 1 ) de la force extérieure, et 9 Si f e est une fonction de Fermi-Dirac (e y + 1) −1 de y ≡ [E(p) − g(r)]/kT(r), alors E typ vaut kT et g est l'énergie de Gibbs par électron, ou potentiel chimique. Si le gaz électronique est dégénéré, comme c'est le cas dans un métal, (∂f e /∂E) r = −f e (1 − f e )/kT prend sa valeur négative la plus grande au niveau mi-occupé E = g. Alors 〈f 1 2 〉 = (u 0 /2kT) 2 f 0 2 à E = g de sorte que f 1 /f 0 = O(u 0 /kT) à E = g ; et f 1 /f 0 ≈ 0 si |E − g| > kT.…”

“…(D.1) La dépendance spatiotemporelle est omise pour alléger la notation. D'après l'équation cinétique(41), la densité locale d'entropie, notée ns, obéit à une équation de transfert[9], ∂(ns) ∂t+ div j S = ∫ BZ Ω d 3 p h 3 σ'(f 0 (p)) Sc{f 0 (p)}, (D.2) où σ'(f 0 ) ≡ k ln[(1 − f 0 )/f 0 ] est la fonction dérivée de σ(f 0 ), j S ≡ ∫ BZ d 3 p h 3 σ(f 0 (p)) v g (p) (D.3)est la densité de courant d'entropie, et Sc{f 0 } désigne le second membre de(41). Le second membre de (D.2) est le taux net de production d'entropie par unité de volume.…”

Theory of the effective Seebeck coefficient for photoexcited 2D materials: the case of graphene

“…Let us denote by f kτ (r,t) the electron distribution function in a crystal, where r is the space coordinate, t the time, k the Bloch wave vector in the Brillouin zone, and τ a multi-index representing all relevant discrete quantum labels, such as band index, spin, and valley. The distribution function obeys the semiclassical Boltzmann equation, [2] which, linearized for a small electric field E(r) around the quasi-equilibrium so-lution fkτ (r), in the absence of a magnetic field, and in the relaxation-time approximation, [27] reads…”