Terme constant des fonctions tempérées sur un espace symétrique réductif.

Abstract

We define and establish the main properties of the constant term of a tempered m-spherical function F on a non riemannian Symmetrie space, finite under the action of the algebra of the G-invariant differential operators on G JH. Using the theory of asymptotics s developped in [3], [4] and [5], we extend to this case the results of [13] and [3] on the canonical decomposition of the constant term and the meromorphic dependence of the components in the case of a holomorphic family. Estimates are established which are uniform with respect to the parameter in the holomorphic case. Those results can be applied to the Eisenstein integrals studied in [10].

The Plancherel decomposition for a reductive symmetric space. I. Spherical functions

“…In our proofs we do not need the full classification of the discrete series. However, for the theory of the constant term developed in [17] to apply, both the necessity of the rank condition and the fact that the infinitesimal D(X)-characters of discrete series representations are real and regular (see Theorem 16.1, due to [40]), play a crucial role.…”

“…Since tΛ ∈ i * b * , by Lemma 16.4 (c), we may apply [17], Thm. 3, which in turn is based on [5], Thm.…”

Plongements de séries discrètes pour un espace symétrique réductif

“…# E L (P, f, x), on raisonne comme dans la de monstration de la Prop. 3 p. 26 de [4] en se limitant aÁ des distributions sur un voisinage ouvert de x dans G dans lequel tous les majorants ' de ! dans X(*) de finissent des distributions p ' (P | f ) nulles.…”

“…La forme ! de finit alors un poids de l'action de a sur le quotient S(a)ÂS(a) I * ouÁ I * est translate du noyau du caracteÁ re p [ p(*) de S(a) (voir [4] Cor. 4 p. 43).…”

Relations d'orthogonalité de Schur “généralisées” pour les espaces symétriques réductifs

“…The oreÁ me 2), plus fine que celle donne e par J. Carmona (cf. [C,Proposition 7]), gra^ce aÁ l'hypotheÁ se de re gularite de /. Ceci permet de remplacer dans le calcul de contribution de O aÁ & f & 2 2, i(/) , f par e \ Q f Q , gra^ce au The oreÁ me de la convergence domine e. Le calcul de cette contribution est effectue gra^ce au Lemme de Riemann Lebesgue, aÁ l'e criture (0.3) de f Q , et a Á l'utilisation re pe te e du The oreÁ me de la convergence domine e. La sommation sur les O conduit alors au re sultat voulu.…”