Teoría de nudos geométricos e isotopía poligonal

Abstract

ResumenEl espacio de los polígonos de n lados, inmersos en el espacio euclídeo de tres dimensiones, consiste de una variedad suave en la cual los puntos corresponden a nudos lineales a trozos o "geométricos", mientras que los arcos corresponden a isotopías que preservan la estructura geométrica de esos nudos. Se describe la topología de estos espacios para los casos n = 6 y n = 7. En ambos casos, cada espacio consta de cinco componentes, aunque contiene sólo tres (cuando n = 6) o cuatro (cuando n = 7) tipos topológicos de nudos. Por lo tanto la "equivalencia geométrica de nudos" es estrictamente más fuerte que la equivalencia topológica. Este hecho se demuestra con el nudo trébol hexagonal y el nudo doble heptagonal, los cuales, a diferencia de sus contrapartes topológicas, no son reversibles. Se discutirán también las extensiones de estos resultados a los casos n ≥ 8.Palabras clave: nudos poligonales, polígonos espaciales, espacios de nudos, invariantes de nudos. AbstractThe space of n-sided polygons embedded in euclidean three-space consists of a smooth manifold in which points correspond to piecewise linear or "geometric" knots, while paths correspond to isotopies which preserve the geometric structure of these knots. The topology of these spaces for the case n = 6 and n = 7 is described. In both of these cases, each knot space consists of five components, but contains only three (when n = 6) or four (when n = 7) topological knot types. Therefore "geometric knot equivalence" is strictly stronger than topological equivalence. This point is demonstrated by the hexagonal trefoils and heptagonal figure-eight knots, which, unlike their topological counterparts, are not reversible. Extending these results to the cases n ≥ 8 will also be discussed.