Tensor Characterizations of Summing Polynomials

Abstract

Operators T that belong to some summing operator ideal, can be characterized by means of the continuity of an associated tensor operator T that is defined between tensor products of sequences spaces. In this paper we provide a unifying treatment of these tensor product characterizations of summing operators. We work in the more general frame provided by homogeneous polynomials, where an associated "tensor" polynomial-which plays the role of T-, needs to be determined first. Examples of applications are shown.

Hyper-ideals of multilinear operators and two-sided polynomial ideals generated by sequence classes

“…Classes of polynomials defined by the transformation of vector-valued sequences were treated in [1], but the connection with the corresponding classes of multilinear operators was not investigated there. We do it now.…”

“…As a consequence, several well studied ideals are shown to be hyper-ideals or two-sided ideals. This new technique is based on the notion of sequence classes, a concept that was introduced in [6] and has proved to be quite fruitful: applications and new developments can be found in [1,5,7,8,18,34,35].…”

Representação de funcionais lineares em hiper-ideais de operadores multilineares e de polinômios homogêneos

“…Uma primeira tentativa de tratar ideais de operadores multilineares por meio de classes de sequências foi feito em [69]. Os conceitos abaixo foram introduzidas em [11] e têm se mostrado frutíferos: aplicações e novos desenvolvimentos podem ser encontrados em [1,10,12,13,14,30,64,65].…”

“…A primeira opção foi tratada em [1], mas foi ali desenvolvida apenas para algumas classes de sequências específicas. Veremos a seguir que essas três maneiras são equivalentes, o que não deixa dúvidas sobre a maneira adequada de se definir polinômios (X; Y )-somantes.…”

“…Apesar de muitos exemplos serem conhecidos e muitas técnicas para gerar hiper-ideais tenham sido desenvolvidas, identificamos uma técnica que ainda não havia sido estudada e que gera novos hiper-ideais de operadores multilineares e de polinômios homogêneos. Essa nova técnica é baseada no conceito de classes de sequências, introduzido em [11] e desenvolvido e aplicado em, por exemplo, [1,10,12,13,14,30,64,65]. Após provar os resultados básicos da nova técnica, mostraremos que muitos multi-ideais e ideais de polinômios já bem conhecidos e estudados são, na verdade, hiper-ideais ou ideais bilaterais.…”