Taking away and determining the difference—a longitudinal perspective on two models of subtraction and the inverse relation to addition

Abstract

Subtraction can be understood by two basic models-taking away (ta) and determining the difference (dd)-and by its inverse relation to addition. Epistemological analyses and empirical examples show that the two models are not relevant only in single-digit arithmetic. As curricula should be developed in a longitudinal perspective on mathematics learning processes, the article highlights some exemplary steps in which the inverse relation is discussed in light of the two models, namely mental subtraction, the standard algorithms for subtraction, negative numbers and manipulations for solving algebraic equations. For each step, the article presents educational considerations for fostering a flexible use of the two models as well as of the inverse relation between subtraction and addition. In each section, a mathedidactical analysis is conducted, empirical results from literature as well as from our own case studies are presented and consequences for teaching are sketched. Two models of subtractionMany adults as well as school children understand subtraction solely as taking away. In this paper, we shall show the importance of the second model of subtraction (determining the difference) and the relevance of the inverse relation between addition and subtraction by adopting a longitudinal perspective. 1 Beforehand, some remarks are necessary with respect to the notions that we use. 1 Note that we do not present an empirical longitudinal study where we followed a set of students or a programme over a longer period of time. We adopt a longitudinal perspective for conducting a mathedidactical analysis (van den Heuvel-Panhuizen and Treffers, 2009).C. Selter (*) : S. Prediger : M. Nührenbörger : S. Hußmann

Freedom of Design: The Multiple Faces of Subtraction in Dutch Primary School Textbooks

“…For example, problems with a + symbol in the form of · · · + b = c and a + · · · = c can be solved by a subtraction operation. These latter problems are actually subtraction problems in an addition format (Selter et al 2012). …”

Exact Arithmetic of Zero and Infinity Based on the Conventional Division by Zero 0/0 = 1

“…We shall name the zero 0 the intuitive zero. The elimination expression A − A or −A + A is a take-away subtraction [15] and means the removal or taking away of the quantity A completely from A [3].…”

Sum and difference compensation strategy as a calculus strategy

“…Разлози за то могу бити: за одузимање у скупу природ-них бројева не важе асоцијативност и комута-тивност као код сабирања, активности у настави које недовољно и на неадекватан начин наглаша-вају супротност и везу сабирања и одузимања; и најважније, да ученици одузимање готово једи-но разумеју као инструкцију одузми (одвој, ук-лони). Слично, истраживања су показала (Selter et al, 2012) да деца имају уско схватање опера-ције одузимања, а то доводи до тога да имају по-тешкоћа са рачунањем, посебно "у глави".…”

“…С обзиром на то да су поступци одузимања тежи за ученике од поступака сабирања (Selter et al, 2012), може-мо да закључимо да комплексност проблема на-води ученике да користе стратегије које ту ком-плексност смањују. Међутим, када им је страте-гија објашњена на хипотетичком задатку, знат-но већи број ученика је користио наведену стра-тегију као свој начин при рачунању.…”

“…Двојица ученика нису уочила знак минус, односно да су трећи и четврти пример заправо примери оду-зимања, док је један ученик исправно уочио оду-зимање, али је направио грешку, такву да је до-дао умањенику 2 и исто одузео од умањиоца у 4. задатку под в), односно додао и одузео 5 у 4. за-датку под г), а требало је додати 2, то јест одузе-ти 5 од оба (Слика 1). Ово је очекивана процедурална грешка која показује да не постоји дубље разумевање значења операције одузимања (Cooper & Warren, 2011;Fuson et al, 1997;Selter et al, 2012).…”