Systems of Kowalevski type and discriminantly separable polynomials

Abstract

Starting from the notion of discriminantly separable polynomials of degree two in each of three variables, we construct a class of integrable dynamical systems. These systems can be integrated explicitly in genus two theta-functions in a procedure which is similar to the classical one for the Kowalevski top. The discriminnatly separable polynomials play the role of the Kowalevski fundamental equation. The natural examples include the Sokolov systems and the Jurdjevic elasticae.A partir de la notion des polynômes avec les discriminants séparables qui sont du second degré par rapport chacune de trois variables, nous construisons une classe des systemes dynamiques. On peut résoudre explicitement ces systemes via les fonctions thêta de genre 2, par une procédure similaire cette classique pour la toupie de Kowalevski. Les polynômes avec les discriminants séparables jouent le rôle de l'équation fondamentale de Kowalevski. Les exemples naturels incluent les systemes de Sokolov et leś elastiques de Jurdjevic.

Phase topology of the Kowalevski–Sokolov top

“…Более подробно этот результат представлен в работе [40]. Во многих публикациях имеются модификации разде-ления переменных для этой задачи (см., например, [36,31,33,34]). Формулы построения разделения переменных в [33,34], по существу, следуют тому варианту, который предложил Кёттер [37] для классического случая Ковалевской, однако, полученные переменные разде-ления все же не коммутируют.…”

“…Во многих публикациях имеются модификации разде-ления переменных для этой задачи (см., например, [36,31,33,34]). Формулы построения разделения переменных в [33,34], по существу, следуют тому варианту, который предложил Кёттер [37] для классического случая Ковалевской, однако, полученные переменные разде-ления все же не коммутируют. Чтобы записать результат разделения для рассматриваемой здесь задачи, рассмотрим диффеоморфизм коалгебры g 0 на коалгебру g κ с κ < 0, которая, как известно, есть so(3, 1) * , причем нормировкой вектора p всегда можно добиться равен-ства κ = −1.…”

Role of discriminantly separable polynomials in integrable dynamical systems

“…Suppose, that a given system in variables after some transformations reduces to where functions and satisfy relations Suppose additionally, that the first integrals and invariant relations of the initial systemreduce to a relation Instead of (6) we can assume that where is a coefficient of polynomial (3).The equations for and are not specified for the moment and m is a function of system's variables. If a system satisfies the above assumptions (3), (4), (5) and (6) we call it a system of the Kowalevski type. The Kowalevski top is an example of the systems of the Kowalevski type.…”

“…Here and denote roots of equation (1) as a quadratic equation in s. In [5] we developed theory of the systems of the Kovalevsky type and explained in detail how Kowalevski's integration procedure can be applied on a whole class of systems. In [3] we presented few new examples of such systems.…”

“…Another novelty of our approach is that Kowalevski's integration procedure from [12] may easily be generalized and applied on a whole new class of systems we introduced in [3], [5]. We called those systems the Kowalevski type systems and basically they are obtained by replacing so called the Kowalevski fundamental equation by an arbitrary discriminantly separable polynomial of degree two in each of three variables.Further steps of integration procedure for those systems follow Kowalevski's procedure and finally we can get explicit solution for all systems of the Kowalevski type in theta functions of genus two.…”