Symmetry of local minimizers for the three-dimensional Ginzburg–Landau functional

Millot, Vincent; Pisante, Adriano

doi:10.4171/jems/223

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“…Let us compare Landau-de Gennes (LdG) model with 2D and 3D Ginzburg-Landau (GL) systems [2,10,9]. Both LdG and GL energies consist of two terms: a Dirichlet energy and a well potential energy.…”

Section: Comparison With the Ginzburg-landau Modelmentioning

confidence: 99%

Stability of the vortex defect in the Landau–de Gennes theory for nematic liquid crystals

Ignat¹,

Nguyen²,

Slastikov³

et al. 2013

Comptes Rendus. Mathématique

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We analyze the radially symmetric solution corresponding to the vortex defect (the so called melting hedgehog) in Landau -de Gennes theory for nematic liquid crystals. We prove existence, uniqueness and stability results of the melting hedgehog. To cite this article: A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). RésuméStabilité du défaut vortex dans la théorie Landau -de Gennes pour les cristaux liquides. Nouś etudions la solutionà symétrie radiale associée au défaut de type vortex dans la théorie Landau -de Gennes pour les cristaux liquides. Nous montrons des résultats d'existence, unicité et stabilité de cette solution. Pour citer cet article : A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). Version française abrégéeDans cette note, nousétudions la fonctionnelle de Landau -de Gennes (LdG) pour les cristaux liquides dont le paramètre d'ordre Q(x) est défini en tout point x ∈ R 3 età valeurs dans l'espace S 0 des Qtenseurs de dimension 5, i.e., les matrices symétriques 3 × 3à trace nulle. L'énergie LdG est constituée de deux termes : l'énergieélastique et l'énergie potentielle dont la densité est donnée par un polynôme f B (Q) de degré 4 en Q (voir (1.1)) qui atteint sa valeur minimale sur une sous-variété de S 0 de dimension 2. Notre but consisteà analyser le point critique de cette fonctionnelle qui a une symétrie radiale et satisfait des conditions limites correspondant au défaut vortex. Cette solution s'appelle "melting hedgehog" et s'écrit sous la forme H(x) = u(|x|)H(x) (voir (1.3)) où le profil radial u satisfait une EDO semilinéaire d'ordre deux (voir (1.4)) avec des conditions limitesà l'origine 0 età l'infini. En effet,H(x) représente le Q-tenseur associé au champ de vortex singulier x/|x| dans la théorie Ginzburg-Landau en 3D et la fonction scalaire u(|x|) correspond au profil (scalaire) régulier du vortex qui s'annuleà l'origine. D'abord, nous montrons l'existence et l'unicité du profil radial positif u. La preuve de l'existence du profil u repose sur une approche variationnelle, tandis que l'unicité est basée sur un principe de comparaison pour les sur/sous-solutions de l'EDO (1.4) et une analyse du comportement asymptotique de la solution en 0 età l'∞. Ensuite, nous présentons le résultat principal de cette note sur la stabilité / instabilité de la solution H selon le paramètre a 2 du système. Premièrement, nous montrons l'instabilité de H dans le régime où a 2 est grand (correspondant physiquementà une basse température réduite). Ceci repose sur la construction d'une perturbation autour de la solution H qui rend négative la variation seconde de l'énergie. Deuxièmement, nous prouvons la stabilité de H dans le régime où le paramètre a 2 est petit. En effet, nous montrons la positivité de la variation seconde Q(V ) pour toute perturbation V autour de H : nous utilisons d'abord une décomposition de V en une base bien choisie dans S 0 et ensuite, la méthode de la séparation de variable pour réduire d'abord le problème au contexteà symétrie axiale et ensuite, au c...

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Section: Comparison With the Ginzburg-landau Modelmentioning

confidence: 99%

Stability of the vortex defect in the Landau–de Gennes theory for nematic liquid crystals

Ignat¹,

Nguyen²,

Slastikov³

et al. 2013

Comptes Rendus. Mathématique

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“…In the GL-framework, researchers study maps, u : R d → R m , d, m = 2, 3 (see e.g. [5,25,31]), whereas the LdG variable is a five-dimensional map, Q : R 3 → R 5 . A uniaxial Q-tensor has two degenerate non-zero eigenvalues and hence, three degrees of freedom and in this case, there is broader scope for transferable methodologies (see for example, [15]).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Uniaxial versus biaxial character of nematic equilibria in three dimensions

2017

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We study global minimizers of the Landau-de Gennes (LdG) energy functional for nematic liquid crystals, on arbitrary three-dimensional simply connected geometries with topologically non-trivial and physically relevant Dirichlet boundary conditions. Our results are specific to an asymptotic limit coined in terms of a dimensionless temperature and material-dependent parameter, t and some constraints on the material parameters, and we work in the t → ∞ limit that captures features of the widely used Lyuksyutov constraint (Kralj and Virga in J Phys A 34:829-838, 2001). We prove (i) that (re-scaled) global LdG minimizers converge uniformly to a (minimizing) limiting harmonic map, away from the singular set of the limiting map; (ii) we have points of maximal biaxiality and uniaxiality near each singular point of the limiting map; (iii) estimates for the size of "strongly biaxial" regions in terms of the parameter t. We further show that global LdG minimizers in the restricted class of uniaxial Q-tensors cannot be stable critical points of the LdG energy in this limit.

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“…Indeed in this case due to the main result in [42] one has the following equivalent statements: Besides possible technical assumptions, the expected symmetry property for M = N ≥ 3 should be a consequence of the following two principles already stated in [44], namely local minimality =⇒ asymptotic symmetry at infinity and asymptotic symmetry =⇒ full symmetry.…”

Section: Open Problemmentioning

confidence: 98%

“…Thus in the general case, the key step is to show the convergence at infinity to a rotation, and this property for N = 3 is deduced in [42] from the fact that the nonconstant locally minimizing degree-zero homogeneous harmonic map u ∞ ∈ H 1 loc (R 3 ; S 2 ) must be x |x| up to a rotation, due to a celebrated result in [14]. Thus, the main difficulty at present seems to be the lack of a corresponding rigidity result for the degree-zero homogeneous locally minimizing harmonic map in H 1 loc (R N ; S N −1 ) for N ≥ 4.…”

Section: Open Problemmentioning

confidence: 98%

“…In view of the above principles, the proof of the symmetry result relies on a detailed study of the minimizing solution u at infinity, i.e., on the analysis of the scaled maps u R (x) = u(Rx) as R → ∞, a suitable classification of their possible limits and a way to propagate the symmetry of the latter usually based on integral identities (for more details on this last step we refer the interested reader to [42,44,51]). …”

Section: Open Problemmentioning

confidence: 99%

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Symmetry in nonlinear PDEs: Some open problems

Pisante

2014

J. Fixed Point Theory Appl.

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In this note, we discuss symmetry properties of solutions for simple scalar and vector-valued systems of nonlinear elliptic partial dif- ferential equations (PDEs). The systems of interest are of variational nature, they appear, for instance, in some first-order phase transition models in mathematical physics (e.g., phase separation, superconductiv- ity, liquid crystals) and are naturally related to some PDEs in geometry (minimal surfaces and harmonic maps). We review some known results and present few open problems about symmetry of minimizers for all these models

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Symmetry of local minimizers for the three-dimensional Ginzburg–Landau functional

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Stability of the vortex defect in the Landau–de Gennes theory for nematic liquid crystals

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Uniaxial versus biaxial character of nematic equilibria in three dimensions

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