Symmetry for extremal functions in subcritical Caffarelli–Kohn–Nirenberg inequalities

Abstract

We use the formalism of the Rényi entropies to establish the symmetry range of extremal functions in a family of subcritical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities. By extremal functions we mean functions which realize the equality case in the inequalities, written with optimal constants. The method extends recent results on critical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities. Using heuristics given by a nonlinear diffusion equation, we give a variational proof of a symmetry result, by establishing a rigidity theorem: in the symmetry region, all positive critical points have radial symmetry and are therefore equal to the unique positive, radial critical point, up to scalings and multiplications. This result is sharp. The condition on the parameters is indeed complementary of the condition which determines the region in which symmetry breaking holds as a consequence of the linear instability of radial optimal functions. Compared to the critical case, the subcritical range requires new tools. The Fisher information has to be replaced by Rényi entropy powers, and since some invariances are lost, the estimates based on the Emden-Fowler transformation have to be modified. Symmétrie des fonctions extrémales pour des inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg sous-critiquesNous utilisons le formalisme des entropies de Rényi pour établir le domaine de symétrie des fonctions extrémales dans une famille d'inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg sous-critiques. Par fonctions extrémales, il faut comprendre des fonctions qui réalisent le cas d'égalité dans les inégalités écrites avec des constantes optimales. La méthode étend des résultats récents sur les inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg critiques. En utilisant une heuristique donnée par une équation de diffusion non-linéaire, nous donnons une preuve variationnelle d'un résultat de symétrie, grâce à un théorème de rigidité : dans la région de symétrie, tous les points critiques positifs sont à symétrie radiale et sont par conséquent égaux à l'unique point critique radial, positif, à une multiplication par une constante et à un changement d'échelle près. Ce résultat est optimal. La condition sur les paramètres est en effet complémentaire de celle qui définit la région dans laquelle il y a brisure de symétrie du fait de l'instabilité linéaire des fonctions radiales optimales. Comparé au cas critique, le domaine sous-critique nécessite de nouveaux outils. L'information de Fisher doit être remplacée par l'entropie de Rényi, et comme certaines invariances sont perdues, les estimations basées sur la transformation d'Emden-Fowler doivent être modifiées.

Symmetry and Symmetry Breaking: Rigidity and Flows in Elliptic Pdes

“…In this section we consider a class of subcritical Caffarelli-Khon-Nirenberg inequalities and extend the results obtained for the critical case. Most results of this section have been published in [28], a joint paper of the authors with M. Muratori.…”

“…Sketch of the proof of Theorem 9. Let us give an outline of the strategy of [28]. As in the critical case, Inequality (14) for a function w can be transformed by the change of variables…”

Improved Interpolation Inequalities and Stability

“…Let us summarize results that can be found in [9,14,16,18]. We adopt the presentation of the proof of [19,Lemma 4.3]. With S d considered as a d -dimensional compact manifold with metric g and measure d µ, let us introduce some notation.…”

Quantitative a priori estimates for fast diffusion equations with Caffarelli–Kohn–Nirenberg weights. Harnack inequalities and Hölder continuity

“…see Subsection 1.3 for more details; these inequalities are deeply connected with the above WFDE, in its evolutionary or stationary version, see for instance [8,9,21,35,36,37,38]; some further connection will be discussed and explored in this paper. A priori estimates are the cornerstone of the theory of nonlinear partial differential equations: the main purpose of this paper is to prove precise quantitative local upper and lower bounds which combine into different forms of Harnack inequalities; as a consequence we also prove interior Hölder continuity for solutions to this class of equations with a (small) quantified exponent: the optimal Hölder exponent is not known.…”