Symmetries for thought

Abstract

This paper covers several topics that involve symmetries of differential equations: from the connection between Lie symmetries and Jacobi last multiplier with a detour to the inverse problem of calculus of variations, to the importance of maximal group of Noether symmetries on the road from classical to quantum mechanics.

Вездесущие Симметрии

“…В работе [15] такая же схема квантования использовалась, чтобы квантовать уравнение Риккати второго порядка, а в работе [16] было выполнено квантование динамики заряженных частиц в однородном магнитном поле и неизохронной системы "золотой рыбки" Калоджеро. В статье [17] этот метод поволил получить уравнение Шредингера для уравнения, связанного с "золотой рыбкой" Калоджеро, в работе [18] он же дал уравнение Шредингера для двух нелинейных уравнений, в какой-то степени связанных с задачей Римана [19]. В работе [20] было показано, что условие сохранения нётеровских симметрий непосредственно приводит к уравнению Шредингера в импульсном пространстве нелинейного осциллятора типа осциллятора Льенара из работы [21], а в работе [22] этот же результат был получен для семейства квадратичного уравнения типа Льенара [23].…”

Quantization of quadratic Liénard-type equations by preserving Noether symmetries

“…We apply this method to the Schrödinger equation (26). Let us rewrite the Lie point symmetries (28) of equation (26) in complex form, i.e.…”

“…A new algorithm for quantization that requires the preservation of Noether symmetries in the passage from classical to quantum mechanics 16 has been recently introduced and applied to both one-dimensional and two-dimensional Lagrangian equations [11,[23][24][25][26][27].…”

“…We now check the classical consistency of the Schrödinger equation (26). Using the REDUCE programs [21] we find that its Lie point symmetries are generated by the following operators:…”

Quantization of the dynamics of a particle on a double cone by preserving Noether symmetries

“…In [8] the same quantization scheme was applied in order to quantize the second-order Riccati equation, while in [9] the quantization of the dynamics of a charged particle in a uniform magnetic field in the plane and Calogero's goldfish system were achieved. In [10] the same method yielded the Schrödinger equation of an equation related to a Calogero's goldfish, and in [11] that of two nonlinear equations somewhat related to the Riemann problem [12]. In [13], and [14] it was shown that the preservation of the Noether symmetries straightforwardly yields the Schrödinger equation of a Liénard I nonlinear oscillator in the momentum space [15], and that of a family of Liénard II nonlinear oscillators [16], respectively.…”