Sur les groupes de transformations birationnelles des surfaces

Abstract

RésuméNousétudions les groupes de type fini agissant par transformations birationnelles sur les surfaces complexes compactes kählériennes. Nous montrons (a) que le groupe des transformations birationnelles d'une surface satisfait l'alternative de Tits, (b) que les actions birationnelles de groupes de Kazhdan sur les surfaces sont toutes birationnellement conjuguéesà des actions homographiques sur le plan projectif et (c) que si f et g sont deux transformations birationnelles de surfaces qui commutent, alors ou bien f préserve un pinceau de courbes, ou bien l'un des itérés g m de g, m > 0, coïncide avec un itéré f n de f, n ∈ Z.Let S be any compact complex kähler surface and Bir(S) the group of birational transformations of S. We study the structure of finitely generated subgroups of Bir(S) and prove three main results : (a) Bir(S) satisfies the Tits Alternative, (b) if a group with Kazhdan property (T) acts on a compact kähler surface by birational transformations, then the action is conjugate to an action by linear projective transformations on the projective plane, and (c) if f is an element of Bir(S) which does not preserve any pencil of curves and if g commutes with f then a positive iterate of g coincides with an iterate of f. The second statement provides a positive answer to Zimmer's conjecture for birational actions on surfaces.

Non simplicité du groupe de Cremona sur tout corps

“…L'espace de Picard-Manin associé à P 2 k est la limite inductive des groupes de Picard des surfaces obtenues en éclatant toutes suites finies de points de P 2 k , infiniment proches ou non (voir [16], [6] Dans la première partie, ils définissent la notion d'élément tendu (« tight element » dans leur terminologie) que nous énonçons dans le cas particulier du groupe de Cremona, de la manière suivante : un élément g de Bir(P 2 k ) est tendu si l'isométrie correspondant à g est hyperbolique et vérifie deux conditions. La première est que son axe soit rigide, c'est-à-dire si l'axe d'un conjugué de g est proche de l'axe de g sur une distance suffisamment grande alors les deux axes sont confondus.…”

Criteria for the existence of equivariant fibrations on algebraic surfaces and hyperkähler manifolds and equality of automorphisms up to powers: a dynamical viewpoint

“…Part (1) below is contained in [5,Theorem 5.1], [6,Theorem 3.2] or [27,Theorem 3.1]. For commutative group actions in higher dimension, see [8,Theorem 1.1].…”

Holomorphic self-maps of singular rational surfaces

“…In order to motivate our results, we shall first draw an analogy between the classification of holomorphic singular foliations on projective surfaces as developped in [Br2,McQ,Me], and the dynamics of rational maps 2 . To make this analogy precise, we need to reformulate slightly some wellknown results in the theory of foliations using the terminology of [Ca5,BFJ1]. We refer to §3.1 for precise definitions.…”