Sur la notion de limite interne et externe dans les fonctions de croissance monotones. Une reformulation de l'équation logistique

Abstract

La valeur limite (« à saturation ») des fonctions de croissance non périodiques constitue l'un des paramètres de divers modèles usuels, comme l'équation logistique. Son interprétation est double, représentant, soit une limite de nature interne ou endogène, soit une limite externe dépendant de l'environnement. Reprenant notre modèle autocatalytique de populations cellulaires structurées (Buis, modèle II, 2003), nous proposons une reformulation de l'équation logistique, illustrée dans le cas de trois classes de cellules (juvéniles, matures, sénescentes). La composante agoniste correspond exactement à la seule fraction active de la population (cellules matures non sénescentes), alors que la composante antagoniste s'interprète comme une limite externe (source ou substrat disponible). L'existence et les modalités d'une limite interne sont étudiées sur la base de ce même modèle de type autocatalytique, avec deux modification essentielles : absence de compétition (source non limitante), existence d'un nombre maximal de mitoses par lignée cellulaire (Lück et Lück, 1978). L'analyse, conduite selon le principe des automates cellulaires déterministes (L-systèmes), montre la flexibilité de ce modèle, qui exhibe une diversité de propriétés cinétiques : écarts à la forme sigmoïde, nombre et position des extremums de la vitesse de croissance, nombre de phases de la structure temporelle. Ceci correspond bien à la diversité des courbes expérimentales de croissance, dont les singularités du gradient de la vitesse de croissance ne peuvent souvent être correctement expliquées par les modèles globaux usuels.