Superintegrability of Rational Ruijsenaars-Schneider Systems and their Action-Angle Duals

Abstract

We explain that the action-angle duality between the rational Ruijsenaars-Schneider and hyperbolic Sutherland systems implies immediately the maximal superintegrability of these many-body systems. We also present a new direct proof of the Darboux form of the reduced symplectic structure that arises in the 'Ruijsenaars gauge' of the symplectic reduction underlying this case of action-angle duality. The same arguments apply to the BC n generalization of the pertinent dual pair, which was recently studied by Pusztai developing a method utilized in our direct calculation of the reduced symplectic structure.

Degenerately Integrable Systems

“…An example of such system is the (spinless) Calogero-Moser system [30]. For other examples see [2][5].…”

“…For the duality in the non-spin case see [27] [21][4] [9]. Duality in the context of superintegrability in the non-spin case was futher explored in [2], where it was shown that for spinless scattering systems the duality implies the superintegrability. Duality between relativistic Ruijsenaars and relativistic Calogero-Moser in the non-spin case was studied in [5] [6] in the context of Heisenberg double.…”

Integrálható sokrészecskerendszerek vizsgálata hamiltoni szimmetria-redukciós módszerrel

“…A technikai részletekről a [6,21] cikkekben olvashatunk bővebben. A [6] referenciában a redukált szimplektikus forma meghatározása a…”

“…Az itt használt gondolatmenet, legalábbis lokális formában, megtalálható például Tsiganov [53] cikkében is. Ezt a gondolatmenetet alkalmazzuk a racionális Ruijsenaars-Schneider hatás-szög duálisát adó hiperbolikus Sutherland modell szuperintegrálhatóságának bizonyítására [6]. Végül Pusztai cikkére támaszkodva [41] röviden ismertetjük ezen duális pár BC(n) általánosítását, amelynek szuperintegrálhatósága szintén könnyen látható az említett általános érvelésből.…”

“…A racionális Ruijsenaars-Schneider modell szuperintegrálhatósága [4,6]. A 3. fejezetben a a racionális Calogero modell relativisztikus általánosításának tekinthető racionális Ruijsenaars-Schneider modell szuperintegrálhatóságát ismertettem.…”