Stratified media: nonlinear ODE is better

Abstract

Propagation of light in stratied media is described with Maxwell's partial dierential equations (PDE). Separation of variables allow to decouple the linear PDE's to obtain second order non autonomous linear ODEs for the electric and magnetic elds. In the last decades, the problem has been tackled with matrices whose elements are linearly independent solutions of the elds.In our approach, although counter-intuitive, the linear dierential equations are transformed into a non-linear ODE. To this end, the eld is written in terms of amplitude and phase variables. An Ermakov invariant then permits the decoupling of the amplitude and phase nonlinear equations. The amplitude or Milne nonlinear equation is then solved numerically. This method has important advantages: i) initial or nal conditions are easily imposed, ii) important physical quantities such as the reectivity are readily obtained, iii) no further approximations have to be made iv) complex proles can be modeled with arbitrary degree of precision. The abrupt and adiabatic limits are obtained but most importantly, intermediate more realistic cases can also be tackled, for example, adsorption between thin lm layers. Novel eects are addressed such as enhanced reectivity at derivative discontinuities where the refractive index is continuous.

Generalized Snell’s refraction angle relationship

“…La inclinación de los planos de equi-fase medidos con respecto a la normal de dichos planos es tan tan /2 1/tan que corresponde a la dirección del vector de onda (15). En este caso, puesto que la amplitud es constante en todo el medio, el plano de equi-fase coincide con el plano de equi-amplitud.…”

“…Por lo tanto, la onda es inhomogénea en cualquier medio estratificado no trivial contrario a lo que se asevera en [1] (pp.57-58). Abordar el problema de medios estratificados con el procedimiento de AmF es más sencillo que hacerlo con el formalismo tradicional de matrices [15].…”

Propagación de ondas electromagnéticas en medios con índice de refracción estratificado, la representación de amplitud y fase

“…Intercambiar n i ↔ n t produce gráficas R(D) idénticas. Aunque con la representación de amplitud y fase se está prefiriendo resolver una ecuación diferencial ordinaria no lineal (3.11) a una lineal (2.10), lograr los resultados anteriores con el método de las matrices sería mucho más laborioso [54]. Aplicando (3.30) a ambos lados de la interfase, ya lejos de ella, dónde el medio es aproximadamente homogéneo, se tiene…”