Statistics of finite degree covers of torus knot complements

Abstract

In the first part of this paper, we determine the asymptotic subgroup growth of the fundamental group of a torus knot complement. In the second part, we use this to study random finite degree covers of torus knot complements. We determine their Benjamini-Schramm limit and the linear growth rate of the Betti numbers of these covers. All these results generalise to a larger class of lattices in PLS(2, R) × R. As a by-product of our proofs, we obtain analogous limit theorems for high index random subgroups of non-uniform Fuchsian lattices with torsion.Résumé. -Dans la première partie de cet article, nous déterminons la croissance de sousgroupes asymptotique des groupes fondamentaux des compléments des noe uds toriques. Dans la deuxième partie, nous utilisons cela pour étudier des revêtements aléatoires de degré fini des compléments de noe uds toriques. Nous déterminons leurs limites au sens de Benjamini-Schramm et le taux de croissance linéaire de leur nombres de Betti. Tous ces résultats se généralisent à une classe plus large de réseaux de PLS(2, R) × R. Comme conséquence de nos preuves, nous obtenons également des théorèmes limites analogues pour des sous-groupes aléatoires de grand indice des réseaux Fuchsiens non-uniformes.