Stability of a critical nonlinear neutral delay differential equation

Abstract

This work deals with a scalar nonlinear neutral delay differential equation issued from the study of wave propagation. A critical value of the coefficients is considered, where only few results are known. The difficulty follows from the fact that the spectrum of the linear operator is asymptotically closed to the imaginary axis. An analysis based on the energy method provides new results about the asymptotic stability of the constant and periodic solutions. A complete analysis of the stability diagram is given. Lastly, existence of periodic solutions is discussed, involving a Diophantine condition on the period.

Асимптотические Свойства Решений Одного Класса Дифференциальных Уравнений Нейтрального Типа

“…В итоге получим соотношение, которое, следуя терминологии работы [28], будем называть энергетическим равенством:…”

“…5.1. Асимптотические свойства уравнения (28). Рассмотрим уравнение (28), которое получается из уравнения (20) 3) Y (t)…”

“…Существенное продвижение в исследовании асимптотической устойчивости для критического случая было достигнуто в [28], авторы которой рассматривали уравнения ẋ(t) ± ẋ(t − 1) = −bx(t) + cx(t − 1), t > 0, x(ξ) = ϕ(ξ), ẋ(ξ) = φ(ξ), ξ 0, Список литературы…”

“…В работе [28] для решения уравнения (1)с начальными условиями ψ = φ, ϕ ∈ W 2 [−1, 0] получено соотношение (с точностью до пропущенного коэффициента c 2 − b 2 в правой части) t t−1 ẋ(s)+bx(s) 2 ds+(b−ac)x 2 (t−1)+(b 2 −c 2 ) (s) ds+(b−ac)ϕ 2 (−1),(46)которое авторы назвали энергетическим равенством. При выводе равенств (22) и (27) мы использовали схему рассуждений из работы[28], однако эти равенства не являются следствием соотношения (46): фундаментальное решение уравнения (1) имеет единичный скачок при t = 0, а для решения уравнения (10) равенство x(0) = ϕ(0) не является обязательным.…”

Global Exponential Stability of Periodic Solution for Neutral-Type Complex-Valued Neural Networks

“…In critical case, Serra [32] studied a class of neutral differential equations ( ) ± ( − ) = ( , ( )) , : 2 -periodic (41) and obtained some existence results of periodic solutions. In a very recent paper, Junca and Lombard [33] investigated the following neutral differential equation:…”